lgebra Linear, Elon Lages Lima

162 Operadores Auto-Adjuntos Seção 13
Observação. Geometricamente, A ≥ 0 significa que o ângulo entre
v e Av (caso estes vetores sejam ≠ 0) é sempre agudo ou reto. O
Corolário 1 diz que, quando Av ≠ 0, esse ângulo é sempre agudo.
Corolário 2. Um operador é positivo se, e somente se, é não-negativo
e invertível.
Com efeito, se A ≥ 0 é invertível então, para todo v ≠ 0 tem-se
Av ≠ 0 logo, pelo Corolário 1, 〈Av,v〉 > 0. A recíproca é óbvia.
Uma matriz quadrada a = [a ij ] ∈ M(n×n) diz-se não-negativa,
e escreve-se a ≥ 0, quando o operador A: R n → R n , cuja matriz na
base canônica é a, é não-negativo.
Dado v = (x 1 ,...,x n ) ∈ R n , tem-se Av = (y 1 ,...,y n ) onde, para
cada i = 1,...,n, y i = a i1 x 1 +a i2 x 2 +···+a in x n . Logo
〈Av,v〉 =
n∑ n∑
x i y i = a ij x i x j .
i=1 i,j=1
Portanto a matriz a = [a ij ] ∈ M(n×n) é não-negativa se, e somente
se, é simétrica e, para todo v = (x 1 ,...,x n ) ∈ R n tem-se
n∑
a ij x i x j ≥ 0.
i,j=1
Analogamente, a matriz a diz-se positiva quando o operador
A: R n → R n , que a ela corresponde, é positivo. Isto significa que
a é simétrica e, para todo v = (x 1 ,...,x n ) ≠ 0 em R n , tem-se
n∑
a ij x i x j > 0.
i,j=1
Assim uma matriz simétrica é não-negativa (respect. positiva)
se, e somente se, seus autovalores são ≥ 0 (respect. positivos).
Exemplo [ ] 13.5. O polinômio característico da matriz simétrica
a b
a = é p(λ) = λ
b c
2 −(a+c)λ+ac−b 2 . A soma de suas raízes é
a+c e o produto éac−b 2 . As raízes dep(λ) são ambas positivas se, e
somente seac−b 2 > 0 ea > 0 (ouc > 0). Com efeito,ac−b 2 > 0 (isto
é, ac > b 2 ) diz que essas raízes têm o mesmo sinal. De a > 0 tiramos