lgebra Linear, Elon Lages Lima

138 A Adjunta Seção 11
Demonstração: Seja {u 1 ,...,u n } ⊂ E uma base ortonormal cujos
primeiros m elementos u 1 ,...,u m formam uma base (ortonormal)
de F. (Começa-se com uma base qualquer de F, estende-se-a a uma
base de E e depois aplica-se Gram-Schmidt.) Para todo vetor v ∈ E
tem-se v = α 1 u 1 +···+α n u n = z+w, onde z = α 1 u 1 +···+α m u m ∈ F
e w = α m+1 u m+1 + ··· + α n u n ∈ F ⊥ . Portanto E = F + F ⊥ . Como
F∩F ⊥ = {0}, segue-se que E = F⊕F ⊥ .
Corolário 1. dim F+dim F ⊥ = dim E.
Corolário 2. Para todo subespaço vetorial F⊂E, tem-se (F ⊥ ) ⊥ = F.
Com efeito, seja qual for o conjunto não-vazio X ⊂ E, vale a inclusão
X ⊂ (X ⊥ ) ⊥ . Em particular, o subespaço F está contido em
(F ⊥ ) ⊥ . Do Corolário 1 resulta que
dim(F ⊥ ) ⊥ = dim E−dim F ⊥ = dim E−(dim E−dim F) = dim F.
Logo F = (F ⊥ ) ⊥ .
Vimos na Seção 10 que a projeção ortogonal de um vetor v ∈ E
sobre um subespaço F ⊂ E é, por definição, o vetor
z = pr F (v) =
m∑
i=1
〈w i ,v〉
〈w i ,w i 〉 w i,
onde{w 1 ,...,w m } ⊂ F é uma base ortogonal. Vimos ainda que, pondo
w = v−z, temos v = z+w, com z ∈ F e w perpendicular a todos os
w i (i = 1,...,m), logo w ∈ F ⊥ . Ficou no ar a questão de saber até
que ponto o vetor z = pr F (v) depende da escolha da base ortogonal
{w 1 ,...,w m } ⊂ F. A resposta é dada pelo Teorema 11.3. Como E =
F ⊕ F ⊥ , é única a maneira de escrever um vetor v ∈ E como soma
v = z+w de um vetor z ∈ F com um vetor w ∈ F ⊥ . Isto mostra que
z = pr F (v) não depende da escolha dos w i . (Veja também o Exercício
11.5.)
De agora em diante, indicaremos com a notação P F : E → E, ou
simplesmente P: E → E, quando não houver perigo de confusão, a
projeção associada à decomposição E = F⊕F ⊥ , a qual chamaremos a
projeção ortogonal sobre F.