lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 22 Equações a Diferenças Finitas 319
22.14. Qual a fórmula que exprime x k em função de x o , x 1 e k,
sabendo-se que
x k+2 = 1 2 (x k+1 +x k )
para todo k ≥ 0 ?
22.15. Resolva a equação x k+3 −6x k+2 +11x k+1 −6x k = 0.
22.16. Ache a solução v k = (x k ,y k ) do sistema
x k+1 = x k −α(x k −y k )
y k+1 = y k +β(x k −y k ),
com vetor inicial v o = (x o ,y o ), com y o < x o , 0 < α < 1 e 0 < β < 1.
Mostre que lim x k = lim y k = (βx o + αy o )/(α + β), logo este limite
está mais próximo dex o do que dey o se, e somente se,α < β. Mostre
que se tem x k < y k para todo k se, e somente se, α+β < 1, em cujo
caso a seqüência (x k ) é decrescente e (y k ) é crescente.
[Observação: este sistema é um modelo para uma situação simples
de barganha. Cada x k é o preço do vendedor e y k é a proposta
do comprador. Em cada etapa, o vendedor oferece um desconto proporcional
à diferença de preços na etapa anterior e o comprador, por
sua vez, aumenta sua proposta de modo análogo. Se a soma α + β,
da constante do vendedor com a do comprador, for maior do que 1,
já na primeira etapa tem-se x 1 < y 1 , o que daria o chamado “negócio
de pai para filho”...]
22.17. Seja x k+2 +ax k+1 +bx k = 0 uma equação cujas raízes características
são os complexos conjugados r e r. Escreva r = ρ(cos θ +
i sen θ) como x k = αρ k cos(β+kθ), onde as constantes α e β podem
ser determinadas de modo a fazer com que x o e x 1 assumam os valores
iniciais pré-estabelecidos. [Sugestão: a equação dada admite a
solução geral complexa x k = ζr k +ηr k , onde ζ,η ∈ C são arbitrários.
Tomando η = ζ, obtém-se a solução real x k = 2 Re (ζr k ). Escreva
ζ = α 2
(cos β + i sen β) e use a fórmula cos(x + y) = cos x · cos y −
sen x·sen y.]