lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 8 A Matriz de uma Transformação Linear 95
é a matriz do operador A relativamente à decomposição E = F 1 ⊕F 2 .
Dado outro operador linear B: E → E, determine a matriz de BA
relativamente à mesma decomposição.
8.10. Com a notação do exercício anterior, sejam a e b as matrizes
de A e B respectivamente, em relação a uma base U 1 ∪U 2 ⊂ E, onde
U 1 ⊂ F 1 e U 2 ⊂ F 2 são bases. Mostre que se
a =
[ ]
a11 a 12
a 21 a 22
e b =
[ ]
b11 b 12
b 21 b 22
então
ba =
[ ]
b11 a 11 + b 12 a 21 b 11 a 12 + b 12 a 22
b 21 a 11 + b 22 a 21 b 21 a 12 + b 22 a 22
(Multiplicação por blocos de matrizes.)
8.11. Seja a uma matriz 5 × 5 cujos elementos sobre a diagonal e
abaixo dela são iguais a zero. Sem fazer nenhum cálculo, conclua
que a 5 = 0.
8.12. Sejam a uma matriz m×n, com m < n, e b uma matriz n×m.
Podem ab e ba ser ambas invertíveis? Uma delas? Qual? Quando?
8.13. Assinale verdadeiro (V) ou falso (F):
( ) Se A,B: E → E são operadores de mesmo posto r então o produto
BA tem posto r.
( ) Se as matrizes a, b ∈ M(m × n) têm o mesmo espaço-coluna
então elas são matrizes da mesma transformação linear.
( ) A matriz do operador linear A: E→E na base {v 1 ,v 2 ,v 3 ,...,v n }
difere da matriz do mesmo operador na base {v 2 ,v 1 ,v 3 ,...,v n }
pela permutação das duas primeiras colunas.
( ) Sejam a ∈ M(2×3) e b ∈ M(3×2). Se ab = I 2 então ba = I 3 .
( ) Se a matriz a ′ se obtém da matriz a por uma permutação de
suas linhas então a ′ e a têm o mesmo posto.
8.14. Seguindo a orientação ali fornecida, prove as propriedades 1)
a 7) da multiplicação de matrizes listadas após a demonstração do