lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 4 Transformações Lineares 43
Re
2
e
2
cos
sen
Re
1
-sen
cos
e
1
Figura 4.2 – Rotação de ângulo θ.
Portanto, a rotação R: R 2 → R 2 leva um vetor v = (x,y) no vetor
Rv = (x ′ ,y ′ ), onde
x ′ = x cosθ−y senθ;
y ′ = x senθ+y cosθ.
A matriz de R relativa à base canônica de R 2 é
[ ]
cosθ − senθ
.
senθ cosθ
Exemplo 4.3. (Projeção ortogonal sobre uma reta.) A reta y =
ax é o conjunto dos pontos (x,ax) ∈ R 2 , onde x varia em R. Ela é
o subespaço vetorial de R 2 gerado pelo vetor (1,a). Consideremos
o operador P: R 2 → R 2 que faz corresponder a cada v = (x,y) ∈
R 2 o vetor Pv = (x ′ ,ax ′ ), cuja extremidade é o pé da perpendicular
baixada de v sobre a reta y = ax. (Veja Fig. 4.3.)