lgebra Linear, Elon Lages Lima

190 Operadores Normais (Caso Real) Seção 15
Exemplo 15.1. Os operadores auto-adjuntos e os ortogonais são
normais. Analogamente, as matrizes simétricas e as ortogonais quadradas
são normais.
[ ] a c
Exemplo 15.2. (Matrizes normais 2 × 2.) Seja a = uma
b d
matriz normal 2×2. Temos
[
aa T a
=
2 +c 2 ]
ab+cd
ab+cd b 2 +d 2
e
a T a =
[ a 2 +b 2 ]
ac+bd
ac+bd c 2 +d 2 .
Logo a é normal se, e somente se, b 2 = c 2 (isto é, b = ±c) e ab +
cd = ac + bd. Se b = c, a matriz a é simétrica. Caso contrário,
temos c = −b (com b ≠ 0). Então, de ab + cd = ac + bd resulta
b(a − d) = b(d − a), donde a = d. Portanto, as únicas matrizes
normais 2×2 são as simétricas e as da forma
[ ] a −b
a = .
b a
Observe que se a ≠ 0 então 0 ≠ r = √ a 2 +b 2 . Logo existe θ ∈ R tal
que cosθ = a/r e senθ = b/r. Então a matriz a se escreve como
[ ]
cosθ − senθ
a = r .
senθ cosθ
Isto nos permite concluir que uma matriz normal2×2 ou é simétrica
ou é a matriz de uma semelhança no plano.
Um operador linear A: E → E chama-se anti-simétrico quando
A ∗ = −A, ou seja, 〈Au,v〉 = −〈u,Av〉 para u,v ∈ E quaisquer. Para
que A seja anti-simétrico é necessário e suficiente que sua matriz
[a ij ] em relação a uma base ortornormal deEseja anti-simétrica, isto
é, a ij = −a ji para quaisquer i,j = 1,2,...,n. Em particular, a ii = 0.
Num espaço de dimensão 1, todo operador anti-simétrico é igual a
zero; logo o único autovalor possível de um operador anti-simétrico
é 0.
Evidentemente, todo operador anti-simétrico é normal.