lgebra Linear, Elon Lages Lima

82 Soma Direta e Projeção Seção 7
7.17. Seja E = F 1 ⊕ F 2 . O gráfico de uma transformação linear
A: F 1 → F 2 é o subconjunto G ⊂ E formado pelas somas v+Av, onde
v ∈ F 1 . Prove que G é um subespaço vetorial de E e que a projeção
P: E → F 1 , restrita a G, define um isomorfismo entre G e F 1 . Reciprocamente,
se G ⊂ E é um subespaço vetorial tal que a restrição de P
a G é um isomorfismo de G sobre F 1 , prove que G é o gráfico de uma
transformação linear A: F 1 → F 2 .
7.18. Diz-se que X∪Y = Z é uma partição de Z quando X∩Y = ∅. Se
J∪K = {1,...,n} é uma partição, prove que R n = R J ⊕R K , onde R J e
R K são os subespaços vetoriais de R n gerados pelos vetores e j , j ∈ J e
pelos vetores e k , k ∈ K respectivamente. Seja F ⊂ R n um subespaço
vetorial. Prove que existe uma partição J ∪ K = {1,...,n} tal que F
é o gráfico de uma transformação linear A: R J → R K , onde dim F =
número de elementos de J.
7.19. Seja P: E → E uma projeção. Prove que os vetores v e (1−t)v+
tPv, para todo v ∈ E e todo t ∈ R, têm a mesma imagem por P.
7.20. Sejam P,Q: E → E projeções. Se P+Q for ainda uma projeção,
prove que Im(P + Q) = Im(P) ⊕ Im(Q). Considerando as projeções
P,Q: R 2 → R 2 , com P(x,y) = (x,0) e Q(x,y) = 1 2
(x+y,x+y), mostre
que a recíproca é falsa.
7.21. Prove que todo espaço vetorial de dimensão finita é soma direta
de subespaços de dimensão 1.