lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 13 Operadores Auto-Adjuntos 165
Observação 2: Somente operadores não-negativos possuem raiz
quadrada auto-adjunta, pois resulta imediatamente da definição de
A ∗ que o quadrado de um operador auto-adjunto é não-negativo.
Entretanto, o quadrado de um operador de outro tipo pode ser um
operador (auto-adjunto) negativo. Por exemplo, a rotação de 90 ◦ no
plano tem quadrado igual à rotação de 180 ◦ , que é igual a −I. Além
disso, um operador positivo pode ter uma raiz quadrada que não
é auto-adjunta. Por exemplo, o operador A: R 2 → R 2 , definido por
A(x,y) = (2x−y,3x−2y) é uma raiz quadrada da identadeI R 2, como
se pode ver sem dificuldade.
Exemplos gerais de operadores não-negativos são dados pelo teorema
seguinte.
Teorema 13.9. Seja A: E → F uma transformação linear entre
espaços vetoriais de dimensão finita munidos de produto interno. Os
operadores A ∗ A: E → E e AA ∗ : F → F são não-negativos e têm ambos
o mesmo posto de A (e de A ∗ ). Em particular, são positivos se, e
somente se, A é invertível.
Demonstração: Como (A ∗ A) ∗ = A ∗ A ∗∗ = A ∗ A, vemos que A ∗ A é
auto-adjunto e, semelhantemente, AA ∗ também. Além disso, para
todo v ∈ E, tem-se 〈A ∗ Av,v〉 = 〈Av,Av〉 = |Av| 2 ≥ 0 logo A ∗ A ≥ 0.
Da mesma forma se vê que AA ∗ ≥ 0. Para determinar o posto de
A ∗ A, mostraremos inicialmente que N(A ∗ A) = N(A). A inclusão
N(A) ⊂ N(A ∗ A) é óbvia, pois N(A) ⊂ N(BA) seja qual for B: F → E.
Por outro lado,
v ∈ N(A ∗ A) ⇒ A ∗ Av = 0
⇒ Av ∈ N(A ∗ ) = Im(A) ⊥
⇒ Av ∈ Im(A)∩Im(A) ⊥ ,
logo v ∈ N(A ∗ A) ⇒ Av = 0, ou seja N(A ∗ A) ⊂ N(A), que é a
inclusão restante. Em seguida observemos que, pelo Teorema do
Núcleo e da Imagem:
posto de A ∗ A = dim E−dimN(A ∗ A)
= dim E−dim N(A)
= posto de A.
A afirmação análoga sobre AA ∗ se prova do mesmo modo.