lgebra Linear, Elon Lages Lima

324 A Forma Canônica de Jordan Apêndice
é uma base de N(A). Pelo Lema, o conjunto
V = {u 1 ,Au 1 ,...,u p ,Au p ,v 1 ,...,v q }
é uma base de E.
Em relação a esta base V, a matriz do operador nilpotente
A: E → E, de índice 2, é formada por p blocos de matrizes 2 × 2
do tipo [ ] 0 0
1 0
ao longo da diagonal (onde p é o posto de A), seguidos de q colunas
nulas, onde 2p+q = dim E.
Por exemplo, se A: R 5 → R 5 é nilpotente de índice 2, sua matriz
na base V tem uma das formas abaixo, conforme seu posto seja 2
ou 1: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
⎢0 0 0 0 0⎥
⎢0 0 0 0 0⎥
⎢
⎣
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
⎥
⎦
⎢
⎣
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Em seguida, consideremos um operador nilpotente A: E → E de
índice 3.
A restrição de A ao subespaço invariante Im(A) é um operador
nilpotente de índice 2. Lembrando que os elementos de Im(A) são
todos da forma Au, resulta do que vimos acima que existe uma base
de Im(A) do tipo
⎥
⎦
{Au 1 ,A 2 u 1 ,...,Au p ,A 2 u p ,Av 1 ,...,Av q },
com A 2 v 1 = ··· = A 2 v q = 0. Os vetores linearmente independentes
A 2 u 1 ,...,A 2 u p ,Av 1 ,...,Av q pertencem ao núcleo de A, logo podem
ser incluídos numa base:
U = {A 2 u 1 ,...,A 2 u p ,Av 1 ,...,Av q ,w 1 ,...,w r } ⊂ N(A).
Segue do Lema que o conjunto
V = {u 1 ,Au 1 ,A 2 u 1 ,...,
u p ,Au p ,A 2 u p ,v 1 ,Av 1 ,...,v q ,Av q ,w 1 ,...,w r }