lgebra Linear, Elon Lages Lima

334 A Forma Canônica de Jordan Apêndice
Teorema A3.1. Seja E um espaço vetorial complexo de dimensão
finita. Para todo operador linear A: E → E, existe uma única decomposiçãoA
= N+D comN: E → E nilpotente,D: E → E diagonalizável
e ND = DN.
Demonstração: Evidentemente, N e D comutam com A. Pelo
Teorema A2.4, cada subespaçoE i = N[(A−λ i I) n i] é invariante porN
e por D. Para i = 1,...,r, sejam A i ,N i ,D i : E i → E i as restrições de
A, N e D ao subespaço E i . A igualdade A i = N i +D i pode ser escrita
como (A i −λ i I)+λ i I = N i +D i ou, ainda, como
(A i −λ i I)−N i = D i −λ i I. (*)
Pelo Lema 2, o operador(A i −λ i I)−N i é nilpotente e pelo Lema 1,D i
é diagonalizável, logo D i −λ i I é diagonalizável (pois qualquer vetor
não-nulo é auto-vetor de λ i I). Pela igualdade (*), esses operadores
são, ao mesmo tempo, nilpotentes e diagonalizáveis, logo iguais a
zero. Portanto vale N i = A i −λ i I e D i = λ i I para i = 1,...,r. Seguese
que N e D são os operadores anteriormente obtidos a partir do
Teorema A2.3.
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