lgebra Linear, Elon Lages Lima

264 Determinantes Seção 19
19.3. Dados os funcionais lineares f 1 ,...,f r : E → R, defina a forma
r-linear alternadaf = f 1 ∧...∧f r : E×···×E → R pondof(v 1 ,...,v r ) =
det(f i (v j )). (“Produto exterior” dos funcionais f 1 ,...,f r .) Prove que
f 1 ∧ ... ∧ f r ≠ 0 se, e somente se, f 1 ,...,f r são L.I. . Prove também
que se {f 1 ,...,f n } ⊂ E ∗ é uma base então as formas f J = f j1 ∧...∧f jr ,
para todo J = {j 1 < ··· < j r } ⊂ {1,2,...,n}, constituem uma base para
A r (E).
19.4. Chama-se gramiano dos vetores v 1 ,v 2 ,...,v k ∈ R n ao número
γ(v 1 ,...,v k ) = det(〈v i ,v j 〉),
determinante da matriz de Gram g(v 1 ,...,v k ). Prove:
(a) γ(v 1 ,...,v k ) > 0 se, e somente se, os vetores v 1 ,...,v k são linearmente
independentes.
(b) Se v 1 é perpendicular a v 2 ,...,v k então γ(v 1 ,...,v k ) = |v 1 | 2 ·
γ(v 2 ,...,v k ).
19.5. Com a notação do exercício anterior, sejam w 1 a projeção ortogonal
do vetor v 1 sobre o subespaço gerado por v 2 ,...,v r e h 1 =
v 1 − w 1 , logo h 1 é perpendicular aos v j com 2 ≤ j ≤ r. Prove que
γ(v 1 ,...,v r ) = |h 1 | 2 γ(v 2 ,...,v r ).
19.6. O paralelepípedo gerado pelos vetores linearmente independentes
v 1 ,...,v r ∈ R n é o conjunto P[v 1 ,...,v r ] das combinações lineares
t 1 v 1 + ··· + t r v r , onde 0 ≤ t i ≤ 1. O volume (r-dimensional) do
paralelepípedo é definido por indução. Se r = 1, ele se reduz ao segmento
de reta [0,v 1 ], cujo “volume” uni-dimensional é, por definição,
|v 1 |. Supondo definido o volume de um paralelepípedo de dimensão
r−1, põe-se
vol P[v 1 ,...,v r ] = |h 1 |·volP[v 2 ,...,v r ],
onde |h 1 | é a altura do paralelepípedo, isto é, h 1 = v 1 − w 1 e w 1 é
a projeção ortogonal de v 1 sobre o subespaço gerado por v 2 ,...,v r .
Prove que
volP[v 1 ,...,v r ] = √ √
γ(v 1 ,...,v r ) = det(〈v i ,v j 〉).