lgebra Linear, Elon Lages Lima

216 Tópicos Matriciais Seção 17
tanto a matriz pa pode ser escalonada usando apenas operações elementares
do tipo L i −αL j . Assim, tem-se a decomposição pa = lu.
5 ō ) Uma condição suficiente (mas não necessária) para que uma
matriz a ∈ M(m×n) possa ser escalonada sem transposições de linhas,
portanto admita uma decomposição A = lu, é que suas submatrizes
principais sejam invertíveis. (Para todo número natural
r ≤ min{m,n}, a submatriz principal de ordem r da matriz a = [a ij ]
é a matriz a r ∈ M(r×r) formada pelos elementos a ij com 1 ≤ i ≤ r e
1 ≤ j ≤ r.)
Provemos este fato no caso de uma matriz a ∈ M(3×4). O argumento
no caso geral é o mesmo mas a notação se torna mais complicada
e pode obscurecer a idéia, que é extremamente simples. Seja
⎡ ⎤
a 11 a 12 a 13 a 14
a = ⎣a 21 a 22 a 23 a 24
⎦ .
a 31 a 32 a 33 a 34
Como a matriz principal[a 11 ] é invertível, temosa 11 ≠ 0. Usando
a 11 como pivô, efetuamos as operações elementares
L 2 − a 21
a 11
L 1 e L 3 − a 31
a 11
L 1
sobre a matriz a, obtendo a nova matriz
⎡ ⎤
a 11 a 12 a 13 a 14
a (1) = ⎣ 0 b 22 b 23 b 24
⎦ .
0 b 32 b 33 b 34
A matriz [ ]
a11 a 12
0 b 22
resulta da matriz principal
a 2 =
[ ]
a11 a 12
a 21 a 22
pela aplicação da operação elementar L 2 − (a 21 /a 11 )L 1 , logo é invertível.
Como é triangular, isto obriga b 22 ≠ 0. Assim podemos
tomar b 22 como pivô. (Na notação geral, seria a (1)
22 em vez de b 22.)