lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 17 Tópicos Matriciais 213
operação L i −αL j , com j < i, tem a forma abaixo:
⎡
⎤
1
. .. 1
. . ..
−α ... 1
⎢
⎣
. ..
⎥
⎦
1
Os elementos não indicados fora da diagonal são nulos. O número
−α está na linha i e na coluna j. A fim de tornar igual a zero o
elemento a ij da matriz a = [a ij ] mediante essa pré-multiplicação,
deve-se tomar α = a ij /a jj . O elemento a jj , que se supõe ≠ 0, chamase
o pivô. Para eliminar (tornar iguais a zero) todos os elementos
abaixo da diagonal na colunajda matriz a, deve-se pré-multiplicá-la
pelo produto dasm−j matrizes da forma acima que se obtêm fazendo
sucessivamente i = j+1,...,m. Isto equivale a pré-multiplicar pela
matriz ⎡
⎤
1
. .. 1
m j =
−α j+1,j
(*)
⎢
⎣
.
. ..
⎥
⎦
−α mj ... 1
(com os α’s na j-ésima coluna), onde α rj = a rj /a jj . Por exemplo, se
m = 4 e j = 1, vemos facilmente que
⎡
1
⎤
0 0 0
⎡
1
⎤
0 0 0
⎡
1
⎤
0 0 0
⎢−α 2 1 0 0
⎥
⎣ 0 0 1 0⎦ ⎢ 0 1 0 0
⎥
⎣−α 3 0 1 0⎦ ⎢ 0 1 0 0
⎥
⎣ 0 0 1 0⎦
0 0 0 1 0 0 0 1 −α 4 0 0 1
⎡
1
⎤
0 0 0
= ⎢−α 2 1 0 0
⎥
⎣−α 3 0 1 0⎦ −α 4 0 0 1