lgebra Linear, Elon Lages Lima

108 Eliminação Seção 9
Exemplo 9.7. Seja o sistema
x + 2y − 3z = 4
2x + 3y + 4z = 5
4x + 7y − 2z = 12.
O escalonamento da sua matriz aumentada é o seguinte:
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 2 −3 4 1 2 −3 4 1 2 −3 4
⎣2 3 4 5 ⎦ −→ ⎣0 −1 10 −3⎦ −→ ⎣0 −1 10 −3⎦ .
4 7 −2 12 0 −1 10 −4 0 0 0 −1
Vemos portanto que o sistema dado é equivalente a:
x + 2y − 3z = 4
− y + 10z = −3
0x + 0y + 0z = −1,
o qual é obviamente impossível. O sistema dado não tem solução.
[Poderíamos ter chegado à mesma conclusão observando, na forma
do Exemplo 9.5, que a imagem do operador A: R 3 → R 3 , cuja matriz
tem colunas v 1 = (1,2,4), v 2 = (2,3,7) e v 3 = (−3,4,−2), é um
subespaço de dimensão 2 em R 3 do qual os vetores w 1 = (1,2,4) e
w 2 = (0,1,1) formam uma base e que o vetor b = (4,5,12) certamente
não é combinação linear de w 1 e w 2 .]
Exemplo 9.8. Seja o sistema
x + 2y + 3z + 4t = 1
5x + 6y + 7z + 8t = 2
9x + 10y + 11z + 12t = 3
O escalonamento da sua matriz aumentada segue o esquema:
⎡ ⎤
1 2 3 4 1
⎣5 6 7 8 2⎦ −→
9 10 11 12 3
−→
⎡
⎤
1 2 3 4 1
⎣0 −4 −8 −12 −3⎦ −→
0 −8 −16 −24 −6
⎡ ⎤
1 2 3 4 1
⎣0 −4 −8 −12 −3⎦ .
0 0 0 0 0