lgebra Linear, Elon Lages Lima

228 Formas Quadráticas Seção 18
Demonstração: Para cada v o ∈ E, a função f: E → R, definida por
f(u) = b(u,v o ), é um funcional linear. Pelo Teorema 11.1, existe um
único vetor em E, que indicaremos com Bv o , tal que f(u) = 〈u,Bv o 〉,
ou seja 〈u,Bv o 〉 = b(u,v o ) para todo u ∈ E. Como v o ∈ E é arbitrário,
acabamos de mostrar que existe uma única função B: E → E tal que
〈u,Bv〉 = b(u,v) para quaisquer u,v ∈ E. Dados v,v ′ ∈ E, tem-se
〈
u,B(v+v ′ ) 〉 = b(u,v+v ′ )
= b(u,v)+b(u,v ′ )
= 〈u,Bv〉+ 〈 u,Bv ′〉
= 〈 u,Bv+Bv ′〉
para todou ∈ E, logoB(v+v ′ ) = Bv+Bv ′ . De modo análogo se verifica
que B(αv) = α(Bv) para α ∈ R e v ∈ E quaisquer, portanto B: E → E
é linear. Em relação a uma base ortonormal U = {u 1 ,...,u m } ⊂ E,
o ij-ésimo elemento da matriz de B é 〈e i ,Be j 〉 = b(e i ,e j ) = ij-ésimo
da matriz de b. Assim, a forma bilinear b e o operador B que a
ela corresponde têm a mesma matriz na base U. Daí decorre que a
correspondência b ↦→ B é um isomorfismo entre B(E × E) e L(E) e
que B é auto-adjunto (respect. anti-simétrico) se,e somente se, b é
simétrica (respect. anti-simétrica).
Uma função ϕ: E → R chama-se uma forma quadrática quando
existe uma forma bilinear b: E × E → R tal que ϕ(v) = b(v,v) para
todo v ∈ E.
Se, em vez da forma bilinear b tomarmos a forma bilinear simétrica
teremos ainda
b ′ (u,v) = 1 2 [b(u,v)+b(v,u)],
ϕ(v) = b(v,v) = 1 2 [b(v,v)+b(v,v)] = b′ (v,v).
Portanto, não há perda de generalidade em se exigir que a forma
quadrática ϕ(v) = b(v,v) provenha de uma forma bilinear simétrica
b. Isto é o que faremos doravante. Com uma vantagem: se b é
simétrica, todos os seus valores b(u,v) podem ser determinados a
partir dos valores b(v,v) = ϕ(v) da forma quadrática ϕ. Com efeito,
tem-se a seguinte fórmula de polarização:
b(u,v) = 1 2 [b(u+v,u+v)−b(u,u)−b(v,v)].