lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 16 Pseudo-inversa 203
16.20. Seja A: E → F a transformação linear de posto 1 dada por
Av = 〈v,a〉b, onde a ∈ E e b ∈ F são vetores ≠ 0. Sabendo que
A ∗ w = 〈w,b〉a para todo w ∈ F (cfr. Exercício 11.17), mostre que
para todo w ∈ F.
A + w = 〈w,b〉
|a| 2 |b| 2 ·a
16.21. Sejam A: R m → R n sobrejetiva e B: R n → R m injetiva. Prove
que (BA) + = A + B + . (Generalização do Exercício 16.19.)
16.22. Prove que a projeção P: E → E é ortogonal se, e somente se,
P + = P.
16.23. Use o Exercício 16.20 para calcular a pseudo-inversa da
transformação linear A: R 2 → R 3 que tem a matriz
⎡ ⎤
1 3
a = ⎣4 12⎦.
1 3
16.24. Sejam v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 ∈ R 4 as colunas de uma matriz [a ij ] ∈
M(4 × 5). Suponha que v 1 e v 2 sejam L.I. e que v 3 = b 13 v 1 + b 23 v 2 ,
v 4 = b 14 v 1 +b 24 v 2 , v 5 = b 15 v 1 +b 25 v 2 . Prove que
⎡
⎤ ⎡ ⎤
a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 11 a 12
[ ]
⎢a 21 a 22 a 23 a 24 a 25
⎥
⎣a 31 a 32 a 33 a 34 a 35
⎦ = ⎢a 21 a 22
⎥ 1 0 b13 b 14 b 15
⎣a 31 a 32
⎦
.
0 1 b 23 b 24 b 25
a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 a 41 a 42
Mostre que este é um método geral para exprimir toda matriz m×n
de posto r como produto de uma matriz m×r por uma matriz r×n,
ambas de posto (máximo) igual a r. Compare com o Exercício 6.29,
do qual esta é uma versão matricial. Mostre que as matrizes 4 ×
2 e 2 × 5 acima foram obtidas a partir da solução natural daquele
exercício. Deduza daí (com auxílio do Exercício 16.21) um processo
para calcular a pseudo-inversa de qualquer matriz.