lgebra Linear, Elon Lages Lima

90 A Matriz de uma Transformação Linear Seção 8
Observemos agora que toda matriz de passagem é invertível.
Com efeito, se p é a matriz de passagem da base V para a base V ′
então p é também a matriz (em relação à base V) do operador linear
P: E → E, tal que Pv j = v ′ j
(j = 1,...,n), o qual é invertível porque
leva uma base numa base.
Assim, da igualdade ap = qa ′ podemos concluir
a ′ = q −1 ap.
Esta é a fórmula que nos dá a matriz a ′ deAnas basesV ′ , W ′ em
função da matriz a de A nas bases V, W. No caso particular de um
operador A: E → E e de suas matrizes a, a ′ relativas às bases V, V ′ ,
temos uma única matriz de passagem p, que nos dá
a ′ = p −1 ap.
As duas matrizes quadradas a e p −1 ap dizem-se semelhantes.
Assim, as matrizes do mesmo operador em relação a bases diferentes
são semelhantes. Vale também a recíproca: se a e a ′ = p −1 ap são
matrizes n × n semelhantes então existe um operador A: R n → R n
tal que a e a ′ são matrizes de A relativamente a bases distintas
de R n .
Com efeito, dadas a e a ′ = p −1 ap, consideramos o operador
A: R n → R n cuja matriz na base canônica E de R n é a. Em seguida,
consideramos a base E ′ ⊂ R n , obtida da base canônica pela matriz
de passagem p. Então a ′ é a matriz de A na base E ′ .
Para efeitos práticos é útil observar que se V = {v 1 ,...,v n } é uma
base em R n então a matriz de passagem da base canônica para V é
aquela cujas n colunas são os vetores v 1 ,...,v n .
Exemplo 8.4. Seja A: R 2 → R 2 o operador linear que consiste na
reflexão em torno da reta y = ax. Como se viu no Exemplo 4.4, a
matriz de A relativamente à base canônica de R 2 é
⎡
⎢
a = ⎣
⎤
1−a 2 2a
1+a 2 1+a 2
⎥
2a a 2 −1
1+a 2 1+a 2
Seja V = {v 1 ,v 2 } ⊂ R 2 a base formada pelos vetores v 1 = (1,a) e
v 2 = (−a,1). Para todo vetor v = (x,y) ∈ R 2 , temos
( )
1−a
2
2a
A(x,y) = x+
1+a2 1+a 2 y, 2a
1+a 2 x+ a2 −1
1+a 2 y ,
⎦ .