lgebra Linear, Elon Lages Lima

306 Equações a Diferenças Finitas Seção 22
O cálculo das potências do operador A ou, equivalentemente, da
matriz a se baseia na observação de que as matrizes da forma
[ ] λ µ
−µ λ
se comportam, em relação à adição e à multiplicação, do mesmo
modo que os números complexos λ+iµ.
Mais precisamente, se associarmos a cada número complexo
z = x+iy a matriz [ ] x y
ϕ(z) =
−y x
teremos uma correspondência injetiva ϕ tal que ϕ(z+w) = ϕ(z)+
ϕ(w) e ϕ(z.w) = ϕ(z).ϕ(w), onde z + w e z.w são as operações
de adição e multiplicação de números complexos e ϕ(z) + ϕ(w) e
ϕ(z).ϕ(w) são as operações correspondentes com matrizes.
Assim, se quisermos calcular a k-ésima potência da matriz
[ ] λ µ
−µ λ
basta calcular (λ+iµ) k = x+iy e teremos
[ ] k λ µ
=
−µ λ
[ ] x y
.
−y x
Ora, as potências de um número complexo se calculam facilmente
com a fórmula de De Moivre: basta escrevê-lo sob a forma trigonométricaλ+iµ
= ρ(cos θ+i sen θ) e então(λ+iµ) k = ρ k (cos kθ+
i sen kθ). Aí, ρ = √ λ 2 +µ 2 , cos θ = λ/ρ e sen θ = µ/ρ. Portanto:
[ ] k [ ]
λ µ
= ρ k coskθ senkθ
.
−µ λ − senkθ coskθ
Se temos, por exemplo, um operador A: R 2 → R 2 , dado por
A(x,y) = (ax + by,cx + dy), cujas raízes características são os números
complexosλ±iµ, segue-se da discussão acima que existe uma
base {u,v} ⊂ R 2 em relação à qual a matriz de A k tem a forma
[ ]
ρ k coskθ senkθ
,
− senkθ coskθ