lgebra Linear, Elon Lages Lima

40 Transformações Lineares Seção 4
Dados v,w ∈ E temos
e
v = α 1 u 1 +···+α m u m
w = β 1 u 1 +···+β m u m .
(Mesmo que a base B seja infinita, podemos exprimir v e w como
combinações lineares dos mesmos elementos de B, completando com
coeficientes zero os múltiplos dos u i que aparecem apenas numa das
duas expressões.) Então
logo
v+w =
m∑
(α i +β i )u i
i=1
A(v+w) = Σ(α i +β i )u ′ i = Σα iu ′ i +Σβ iu ′ i = A·v+A·w.
De maneira análoga se vê que A(αv) = α · Av, portanto A: E → F,
assim definida, é uma transformação linear, tal que A·u = u ′ , para
todo u ∈ B. Quanto à unicidade, seja B: E → F outra transformação
linear tal que B · u = u ′ para todo u ∈ B. Então, para cada v =
Σα i u i ∈ E tem-se
B·v = B(Σα i u i ) = Σα i ·Bu i = Σα i ·u ′ i = A·v
portanto B = A. Isto completa a demonstração.
Em virtude do Teorema 4.1, se quisermos definir uma transformação
linear A: R n → R m basta escolher, para cada j = 1,...,n,
um vetor v j = (a 1j ,a 2j ,...,a mj ) ∈ R m e dizer que v j = A · e j é a
imagem do j-ésimo vetor da base canônica, e j = (0,...,1,...,0), pela
transformação linear A. A partir daí, fica determinada a imagem
A · v de qualquer vetor v = (x 1 ,...,x n ) ∈ R n . Com efeito, tem-se
v = x 1 e 1 +···+x n e n , logo
⎛ ⎞
n∑ n∑ n∑
A·v = A⎝
x j e j
⎠ = x j A·e j = (a 1j x j ,a 2j x j ,...,a mj x j )
j=1
⎛
n∑
= ⎝ a 1j x j ,
j=1
j=1
n∑
a 2j x j ,...,
j=1
n∑
j=1
j=1
a mj x j
⎞
⎠,