lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 14 Operadores Ortogonais 179
logo |Au| = |u| e (8) ⇒ (1).
Observação. O Teorema 14.1 confirma o dito: enunciado longo ⇒
demonstração fácil. (Dito válido com a mesma precisão e generalidade
com que costumam valer os provérbios.)
Uma transformação linear A: E → F chama-se ortogonal quando
cumpre uma das oito condições do Teorema 14.1 (e portanto todas
elas). Em particular, um operador linear A: E → E chama-se ortogonal
quando A ∗ = A −1 . Para que o operador linear A: E → E seja
ortogonal, é suficiente que A ∗ A = I E ou então que AA ∗ = I E .
De |Av| = |v| resulta que os únicos autovalores possíveis para um
operador ortogonal A: E → E são +1 e −1. Com efeito, Av = λv com
v ≠ 0 implica |v| = |Av| = |λv| = |λ||v|, logo |λ| = 1.
Se u e v são autovetores do operador ortogonal A, com Au = u e
Av = −v então 〈u,v〉 = 0. Com efeito:
〈u,v〉 = 〈Au,−Av〉 = 〈A ∗ Au,−v〉 = 〈u,−v〉 = −〈u,v〉.
Teorema 14.2. Se o operador ortogonal A: E → E deixa invariante
o subespaço F ⊂ E então A deixa invariante o complemento ortogonal
F ⊥ .
Demonstração: Dado arbitrariamente w ∈ F ⊥ , queremos provar
queAw ∈ F ⊥ , isto é, que〈Aw,v〉 = 0 para todov ∈ F. Ora, a restrição
deAao subespaço invarianteFéum operador injetivoA: F → F, logo
sobrejetivo. Assim, dado v ∈ F, existe u ∈ F tal que v = Au. Logo
〈Aw,v〉 = 〈Aw,Au〉 = 〈w,u〉 = 0, pois w ∈ F ⊥ e u ∈ F.
Observação. Parte do argumento acima mostra que se o operador
A: E → E é invertıvel eF ⊂ E é invariante porA, entãoFéinvariante
por A −1 .
Exemplo 14.4. Uma operador linear S: E → E que é ao mesmo
tempo ortogonal e auto-adjunto cumpre S ∗ S = I e S ∗ = S, logo
SS = I. Portanto ortogonal + auto-adjunto ⇒ involução. Pelo Teorema
7.3, tem-se E = F 1 ⊕ F 2 , onde F 1 = {v ∈ E;Sv = v} e F 2 = {v ∈
E;Sv = −v}. Assim, os elementos não-nulos deF 1 eF 2 são os autovetores
de S correspondentes aos autovalores +1 e −1 respectivamente.
Da observação que precede o Teorema 14.2 resulta que F 2 = (F 1 ) ⊥ .
Juntando-se uma base ortonormal de F 1 com uma base ortonormal