lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 18 Formas Quadráticas 241
onde r é o posto da matriz [a ij ] e λ 1 ,...,λ r são os seus autovalores
não-nulos. No primeiro caso, supondo r = n − 1, a quádrica Σ pode
ser definida por
t n = α 1 t 2 1 +···+α n−1t 2 n−1
(com α i = −λ i /d) e chama-se um parabolóide.
Exercícios
18.1. Determine a matriz de cada uma das formas bilineares abaixo,
relativamente à base especificada:
(a) b: R 4 × R 4 → R, b(u,v) = 〈u,v〉, base {v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 } ⊂ R 4 , onde
v 1 =(−2,0,3,1), v 2 =(1,2,1,−1), v 3 =(0,1,2,−1), v 4 =(1,2,3,1).
(b) b: R n × R n → R, b(u,v) = 〈Au,v〉, A ∈ L(R n ), base canônica
de R n .
(c) b: R n ×R n → R,b(u,v) = 〈Au,Bv〉,A,B ∈ L(R n ), base canônica
de R n .
(d) b: R n ×R n → R, b(u,v) = 〈u,a〉·〈v,b〉, a,b ∈ R n , base canônica
de R n .
18.2. Seja ϕ: R 3 → R a forma quadrática dada por ϕ(x,y,z) = x 2 +
y 2 −z 2 +2xy−3xz+yz. Qual é a matriz de ϕ na base {u,v,w} ⊂ R 3 ,
onde u = (3,0,1), v = (1,−1,2), w = (2,1,2) ?
18.3. Prove que o conjunto das formas quadráticas no espaço vetorial
E é um subespaço vetorial Q(E) ⊂ F(E;R). Se dim E = n, prove
que dim Q(E) = n(n+1)/2.
18.4. Assinale V(erdadeiro) ou F(also):
( ) O conjunto das formas quadráticas de índice i no espaço vetorial
E é um cone convexo em F(E;R).
( ) A matriz do operador B: E → E na base U é igual à matriz da
forma bilinear b(u,v) = 〈u,Bv〉 na mesma base.