lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 19 Determinantes 263
τ é uma transposição então ττ = ι n , ou seja, τ = τ −1 .
Às vezes se representa uma permutação σ: J n → J n pela lista
ordenada (σ(1),...,σ(n)) dos valores que ela assume nos números
1,2,...,n.
O conjunto das permutações dos n números 1,2,...,n tem
n! = 1·2...n elementos.
Toda permutação σ: J n → J n se escreve (de várias maneiras diferentes)
como produto de transposições σ = τ 1 ·τ 2 ...τ k .
Dada a permutação σ, o número k de transposições tais que
σ = τ 1 · τ 2 ...τ k pode variar, porém não a sua paridade. Noutras
palavras, se σ puder ser expressa como produto de um número par
de transposições então não poderá ser expressa como produto de um
número ímpar de transposições. Ou ainda, seσ = τ 1·τ 2 ...τ k onde as
τ i são transposições então (−1) k é um número que depende apenas
de σ. Este número, igual a ±1, é representado pela notação ε σ .
Quando ε σ = +1, diz-se que σ é uma permutação par. Se
ε σ = −1, diz-se queσéuma permutação ímpar. Tem-seε σσ ′ = ε σ·ε σ ′,
ou seja, o produto de permutações pares é par, o produto de uma
permutação par por uma permutação ímpar é ímpar e o produto de
duas permutações ímpares é par. É claro também que ε σ = ε σ −1.
Exercícios
19.1. Sejam E 1 ,...,E r espaços vetoriais de dimensões n 1 ,...,n r respectivamente.
Defina função r-linear f: E 1 × ··· × E r → R e prove
que o conjunto L(E 1 ,...,E r ;R) dessas funções é um espaço vetorial
de dimensão n 1 ·n 2 ·...·n r .
19.2. SejamEum espaço vetorial de dimensãoneU = {u 1 ,...,u n } ⊂
E uma base. Para cada seqüência crescente J = {j 1 < j 2 < ··· < j r } de
r inteiros de 1 até n, seja escolhido um número a J . Prove que existe
uma (única) forma r-linear alternada f: E × ··· × E → R tal que
f(u j1 ,...,u jr ) = a J para toda seqüência J = {j 1 < ··· < j r }. Conclua
que o espaço vetorial A r (E) tem dimensão igual a ( n
r)
.