lgebra Linear, Elon Lages Lima

320 Equações a Diferenças Finitas Seção 22
22.18. Dada a equação x k+2 + ax k+1 + bx k = c k , onde c não é raiz
característica, prove que existe M ∈ R tal que x k = M · c k é uma
solução particular. Se c é uma raiz característica diferente de −a/2,
prove que existe N tal que x k = Nkc k é uma solução particular. E se
c = −a/2 é raiz característica prove que existe P tal que x k = Pk 2 c k
é uma solução particular.
22.19. Se v k+1 = αv k + w k , onde |α| < 1 e lim
k→∞
w k = 0, prove que
lim
k→∞ v k = 0
22.20. Seja A: E → E um operador linear cujos autovalores cumprem
|λ 1 | < 1,...,|λ n | < 1. Prove que, para todo v ∈ E, tem-se
lim
k→∞ Ak v = 0. [Sugestão: Tome uma base {u 1 ,...,u n } ⊂ E na qual
a matriz de A seja diagonal superior. Observe que Au i = w + λ i u i ,
onde w ∈ S(u 1 ,...,u i−1 ) se i > 1 e Au 1 = λ 1 u 1 . Logo A k+1 u i =
A k w + λ i A k u i . Ponha v k = A k u i , w k = A k w, α = λ i e tenha v k+1 =
αv k +w k . Use indução em i e o exercício anterior para concluir que
lim
k→∞ Ak u i = 0 (i = 1,...,n), e daí lim A k v = 0 para todo v ∈ E.]
k→∞