Calculul valorilor si vectorilor proprii

308 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
Demonstraţie. Demonstraţii complete pot fi găsite în lucrările clasice de algebră
liniară sau analiză matriceală, cum sunt, de exemplu, [I], [II]. ✸
DeşiformacanonicăJordanjoacăunrolesenţialînanalizamatriceală,conţinând
maximum de informaţie structurală privitor la o matrice dată, totuşi rolul ei în calculul
numeric este mult diminuat de sensibilitatea structurii Jordan la perturbaţii
numerice în elementele matricei iniţiale, perturbaţii inerente datorită erorilor de
reprezentare a informaţiei numerice într-un format virgulă mobilă. De asemenea,
încercările de a calcula forma canonică Jordan a unei matrice presupuse ca având
o reprezentare exactă, într-un mediu de calcul aproximativ, prezintă dificultăţi majore
datorită influenţelor structurale, posibil decisive, ale erorilor de rotunjire. Din
păcate (sau din fericire) nu s-a putut degaja un concept de formă canonică Jordan
”aproximativă” sau, mai bine zis, acest rol poate fi jucat de o structură diagonală,
întrucât oricât de aproape (în sensul unei norme matriceale consistente) de o matricecu
o structurăJordanoricâtde complexăsegăsescmatricecu structuraJordan
cea mai simplă, i.e. diagonală.
Trebuie subliniat însă că, practic în toate aplicaţiile, forma canonică Jordan
poate fi suplinită cu succes de către forma Schur, al cărei calcul se poate efectua cu
o înaltă acurateţe.
Privind acum determinarea formei canonice Jordan ca o provocare la adresa
calculului numeric, ne propunem să scoatem în evidenţă, la un nivel mai puţin
formal, natura dificultăţilor ce apar într-o astfel de întreprindere.
Înprimulrândesteevidentfaptulcăoabordareproceduralănaturalăaconstrucţiei
formei canonice Jordan a unei matrice A ∈ IC n×n presupune ca o primă etapă,
decisivă, calculul formei formei Schur ordonate şi, pe această bază, a formei blocdiagonale
(prezentate în secţiunile precedente) în care fiecare bloc diagonal corespunde
unei valori proprii distincte a matricei iniţiale şi, prin urmare, are ordinul
dat de multiplicitatea algebrică a valorii proprii respective. De asemenea, amintim
că, în cazul complex, blocurile diagonale sunt matrice superior triunghiulare.
În consecinţă, problema se reduce, de fapt, la calculul formei canonice Jordan a
unui bloc diagonal al formei bloc diagonale, i.e. a unei matrice (utilizăm din nou
notaţiile generice) A ∈ IC n×n de forma
A = λI n +N, (4.242)
unde N ∈ IC n×n este o matrice strict superior triunghiulară. Mai mult, întrucât
T −1 AT = λI n + T −1 NT, este suficient să construim forma canonică Jordan a
matricei strict superior triunghiulare N.
Fie
J = T −1 NT = diag(J 1 , J 2 , ..., J q ), (4.243)
forma canonică Jordan a matricei N, unde celulele Jordan J k sunt definite, în acest
caz, de ⎡ ⎤
0 1 ··· 0 0
. 0 0 .. 0 0
J k =
. . .
⎢ . . .. . ..
. .
∈ IC n k×n k
. (4.244)
⎥
⎣ 0 0 ··· 0 1 ⎦
0 0 ··· 0 0