Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 213
Exemplul 4.1 Se consideră matricea
⎡
A = 1 6
care are polinomul caracteristic
⎣ 5 25 9
−1 −5 −9
0 24 24
p(λ) = det(λI 3 −A) = λ 3 −4λ 2 +6λ−4
şi valorile proprii λ 1 = 2, λ 2,3 = 1±i. Vectorii
⎡
def
x 1 = v 1 = ⎣ −1 ⎤
−1
2
⎦, x 2,3
def
= v 2 ±iv 3 =
⎤
⎦
⎡
⎣ 5
−1
2
⎤
⎦±i
⎡
⎣ 2 2
−2
sunt vectori proprii ai matricei A asociaţi valorilor proprii λ 1 şi, respectiv, λ 2,3 . Fie
V 1 = v 1 şi V 23 = [v 2 v 3 ]. Avem următoarele relaţii de tipul (4.12) (verificaţi!):
[ ]
1 1
AV 1 = V 1 B 1 cu B 1 = 2, AV 23 = V 23 B 23 cu B 23 =
−1 1
şi, prin urmare, S 1 = ImV 1 şi S 23 = ImV 23 (vezi fig.4.1) sunt subspaţii A-invariante,
⎤
⎦
✻3
IR
❅
S 3
1 =ImV 1
✘✘ ✘✘✘ ✘ ✘✘✘ ✘ ✘✘ ❈
❅ ❈❈❈❈❈❈❈❈
❅ S 23 =ImV 23
❈ ❅❅■
v 1
v 2
❈❈ ❅
✘ ✘✘✘ ✘✘✿
❅
❈
✑
0
✑ ❈
❈❈❈❈❈ ✑ ❈❈❈❲
✑
✑ v 3
✑
✑
✑✰ ✑ ✘ ✘ ✘ ✘✘✘ ✘ ✘✘✘ ✘✘
2
❅
❅
❅
✲1
Fig. 4.1: Vectori proprii şi subspaţii A-invariante pentru matricea A din exemplul
4.1.
iar B 1 = A|S 1 şi B 23 = A|S 23 sunt restricţii ale matricei A la cele două subspaţii
(sunt aceste restricţii unic determinate). Propunem cititorului să calculeze complementele
ortogonale înIR 3 ale celordouă subspaţii şi săverificecă acestesubspaţii
sunt A T -invariante.
✸
Problema de calcul care face obiectul acestui capitol este determinarea valorilor
şi vectorilor proprii ai unei matrice date. Deşi pentru calculul unei valori proprii