Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.1. FORMULAREA PROBLEMEI 377
unde matricele P 1 , P 2 , Y şi Z sunt cele definite mai sus, se numeşte descompunerea
polară 5 a matricei A.
Fie matricele hermitice, pozitiv semidefinite B = A H A, C = AA H şi descompunerile
lor spectrale B = VΛ B V H şi C = UΛ C U H , unde Λ B = diag(λ 1 ,λ 2 ,...,λ n ),
Λ C = diag(λ 1 ,λ 2 ,...,λ m ), cu toţi λ i nenegativi. Definim B 1 def
2 = VΛ 1 2
B
V H def
=
def
= Vdiag( √ λ 1 , √ λ 2 ,..., √ λ n )V H şi, similar, C 1 def 2 = UΛ 1 2
A
U H .
Se poatearăta(exerciţiu pentru cititor) cămatriceleP 1 şi P 2 din descompunerea
polară sunt unic determinate de P 1 = (A H A) 1 2
, respectiv de P 2 = (AA H ) 1 2
, iar
matricele Y şi Z sunt unic determinate dacă r = n, respectiv r = m.
5.1.3 Descompunerea CS
Înoperareanumericăcusubspaţiiliniaresedovedeşteafiextremdeutilăaşanumita
descompunere CS 6 (DCS) a matricelor unitare (ortogonale) care, printre altele,
permite introducereanoţiunii de distanţă dintre subspaţii în cazul multidimensional
şi care are conexiuni naturale cu DVS. Introducem DCS prin următoarea teoremă.
Teorema 5.3 Fie o matrice unitară Q ∈ IC n×n cu următoarea partiţie
[ ]
Q11 Q
Q = 12
, Q
Q 21 Q 11 ∈ IC k×k , Q 22 ∈ IC l×l , k +l = n. (5.29)
22
Atunci există matricele unitare U 1 , V 1 ∈ IC k×k şi U 2 , V 2 ∈ IC l×l astfel încât
⎧ ⎡
⎣ C S 0
⎤
−S C 0 ⎦ pt. k ≤ l
[ ] H [ ][ ] ⎪⎨
U1 0 Q11 Q
W =
12 V1 0 0 0 I l−k
= ⎡
0 U 2 Q 21 Q 22 0 V 2
⎣ I ⎤
k−l 0 0
0 C S ⎦ pt. k > l
⎪⎩
0 −S C
(5.30)
unde
C = diag(c 1 ,c 2 ,...,c p ) ∈ IR p×p cu c 1 ≥ c 2 ≥ ... ≥ c p ,
S = diag(s 1 ,s 2 ,...,s p ) ∈ IR p×p cu s 1 ≤ s 2 ≤ ... ≤ s p ,
p = min(k,l) şi c 2 i +s2 i = 1, i = 1:p, i.e. c i şi s i pot fi scrise sub forma
(5.31)
c i = cosθ i , s i = sinθ i , cu 0 ≤ θ 1 ≤ θ 2 ≤ ... ≤ θ p ≤ π 2 . (5.32)
Egalitatea (5.30) se numeşte descompunerea CS a matricei unitare Q.
În cazul real, i.e. atunci când Q este ortogonală, matricele de transformare bloc
diagonale pot fi reale, i.e. ortogonale.
5 Denumirea de ”descompunere polară” este justificată de analogia cu reprezentarea polară
z = ρe iθ a numerelor complexe, la care factorul ρ este nenegativ, iar factorul e iθ are modulul
unitar.
6 Denumirea CS provine de la iniţialele funcţiilor cosinus şi sinus, matricea ortogonală transformată
având aspectul unei rotaţii generalizate (vezi mai departe).