Calculul valorilor si vectorilor proprii

372 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
Definind matricele unitare U k = diag(I k−1 ,Ũk), V k = diag(I k−1 ,Ṽk) rezultă
Σ (k) = U H k Σ(k−1) V k =
[ ]
(k) Σ 1 0
, (5.10)
0 B k
cu Σ (k)
1 = diag(σ 1 ,σ 2 ,...,σ k ).
Pentru a încheia demonstraţia este suficient să arătăm că σ k ≤ σ k−1 . Din
expresia (5.9), scrisă pentru pasul k −1, avem
[ ]∥ σ k−1 = ‖B k−2 ‖ 2 =
σk−1 0 ∥∥∥2
∥ ≥ ‖B
0 B k−1 ‖ 2
= σ k .
k−1
În concluzie, procedura de diagonalizare poate fi iniţiată şi apoi continuată.
Astfel, fie vom obţine B r = 0 pentru r < p, fie procedura se va incheia cu r = p =
= min(m,n), i.e.
unde
Σ (r) = U H r ···UH 2 UH 1 AV 1V 2···V r = U H AV =
[
Σ
(r)
1 0
0 0
]
, (5.11)
U = U 1 U 2 ...U r , V = V 1 V 2 ...V r (5.12)
def
sunt matrice unitare. Cu Σ 1 = Σ (r)
1 şi Σ def
= Σ (r) obţinem (5.3). Demonstraţia este
completă.
În cazul matricelor reale cursul demonstraţiei este identic cu menţiunea că în
locul transformărilor complexe se utilizează transformări reale, i.e. ortogonale. ✸
Exemplul 5.1 Este uşor de verificat că matricea
[ ]
1.60 0.36 0.48
A =
−1.20 0.48 0.64
admite o DVS A = UΣV T definită de
[
U =
0.8 0.6
−0.6 0.8
] [
2 0 0
, Σ =
0 1 0
⎡
]
, V = ⎣ 1 0 0
0 0.6 0.8
0 0.8 −0.6
şi are, evident, valorile singulare σ 1 = 2 şi σ 2 = 1. Matricea B = A T are, la fel de
evident, aceleaşi valori singulare şi B = VΣ T U T este o DVS a sa. Valorile singulare
ale unei matrice reale au o interpretare interesantă în geometria spaţiului euclidian.
Concret, valorile singulare nenule ale matricei A ∈ IR m×n sunt lungimile semiaxelor
hiperelipsoidului E = AS ⊂ ImA ⊂ IR m unde S este hipersfera cu centrul în origine
şi de rază unitară din IR n , i.e.
E = {y ∈ IR m |y = Ax, x ∈ IR n , ‖x‖ 2 = 1}.
În figura 5.1 sunt reprezentate elipsele E A şi E B pentru matricele A, de mai sus, şi
⎤
⎦