Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.4. ALGORITMUL QR 261
4. [A(k : l,k : l),c,s] = IT QR1(A(k:l,k:l),w)
5. Dacă k > 1 atunci
1. Pentru i = 1 : l−k
1. A(1:p,p+i : p+i+1)=
= Gcd(A(1:p,p+i : p+i+1),c i ,s i ).
6. Dacă l < n atunci
1. Pentru i = 1 : l−k
1. A(p+i : p+i+1,l+1: n) =
= Gcs(c i ,s i ,A(p+i : p+i+1,l+1: n))
7. cont it ← cont it+1
6. Dacă opt = ′ da ′ atunci
1. Pentru i = 1 : l−k
1. Q(:, p+i : p+i+1)= Gcd(Q(:, p+i : p+i+1),c i ,s i )
Comentarii. Algoritmul implementează ideile expuse în prezentarea teoretică premergătoare,
iar comentariile incluse asigură, sperăm, transparenţa necesară pentru
identificarea lor. Menţionăm suplimentar că, pentru contorizarea iteraţiilor, a fost
utilizată variabila întreagă cont it care se reiniţializeză la zero ori de câte ori se a-
nulează un nou element subdiagonal. De asemenea, s-a utilizat instrucţiunea break
(de ieşire forţată din cicluri de tip pentru sau c^at timp) pentru încadrarea indexărilor
în limitele permise de dimensiunile matricelor. Vom apela în continuare
acest algoritm utilizând sintaxa
[S,Q] = QR1(A,Q,tol,opt).
În aspectele sale esenţiale, algoritmul de mai sus stă la baza tuturor programelor
profesionale de calcul al valorilor proprii ale unei matrice complexe. Utilizarea lui
pentru calculul formei Schur a unei matrice reale este posibilă 24 , dar este mai puţin
eficientă în raportcu variantaspecial elaboratăpentru aceastăsituaţie şi prezentată
în continuarea acestui capitol.
Datorită procesului iterativ complexitatea algoritmului depinde de datele de intrare
precum şi de toleranţa practicată. Pentru un nivel de toleranţă de ordinul
de mărime al erorilor de reprezentare 25 , evaluările experimentale converg către
aprecierea că, în medie, două iteraţii sunt suficiente pentru a pune în evidenţă o
valoare proprie. În această situaţie, pentru matrice de ordin superior (de exemplu
n > 100), se poate aprecia că algoritmul QR1 are o complexitate O(n 3 ). Evaluarea
de mai sus este corectă pentru matrice de dimensiuni medii şi mari. În exemplele
academice sau aplicaţiile studenţeşti apar, de regulă, matrice de ordin redus
24 Pentru probleme de mică dimensiune diferenţa de eficienţă nu este decisivă astfel că acest
algoritm poate fi folosit cu succes. Atragem însă atenţia că procedura Gc de calcul a unei rotaţii
complexe (vezi capitolul 3) aplicată unui vector real calculează de fapt o rotaţie reală astfel încât
pentru date reale acest algoritm va lucra exclusiv cu numere reale privite ca numere complexe şi
nu va fi capabil să reducă blocurile diagonale 2 × 2 cu valori proprii complexe. Pentru a depăşi
acest impas se poate proceda, de exemplu, ca în algoritmul special destinat cazului real (vezi mai
departe) prin identificarea unor astfel de situaţii şi monitorizarea blocurilor diagonale sau prin
introducerea unor deplasări implicite modificate cu parte imaginară nenulă.
25 În pachetele comerciale de programe acest nivel de toleranţa este practicat uzual şi nu poate
fi modificat de utilizator.