Calculul valorilor si vectorilor proprii

288 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
şi unde, fără a reduce generalitatea, putem considera θ = 0, i.e. x 2 = y/‖y‖.
Conform lemei de deflaţie unitară 4.2, o transformare de asemănare S ′ = P H SP,
în care matricea unitară P are ca primă coloană vectorul propriu x 2 , va evidenţia,
în poziţia 11 a matricei S ′ valoarea proprie asociată vectorului propriu x 2 , i.e. s 22 ,
conservând, în acelaşi timp, zeroul din poziţia 21 . Concret, dacă P ∈ IC 2×2 este
rotaţia (complexă) care asigură
(P H y)(2) = 0, (4.196)
unde y este vectorul definit în (4.195), obţinem (încă un exerciţiu pentru cititor)
[ ]
S ′ = P H s22 s
SP = 12
. (4.197)
0 s 11
S-a realizat astfel permutarea celor două valori proprii.
Pentru o matrice superior triunghiulară S de ordinul n permutarea valorilor
proprii adiacente s kk şi s k+1,k+1 se realizează folosind transformarea unitară de
asemănare S ′ = Q H SQ cu
Q = diag(I k−1 ,P,I n−k−1 ), (4.198)
unde transformarea definită de matricea de ordinul doi P asigură permutarea valorilor
proprii ale matricei S(k : k+1,k : k+1).
Rezumând cele prezentate mai sus, rezultă următoarea schemă de calcul
P11c
1. Dacă s kk ≠ s k+1,k+1 atunci
1. Se calculează vectorul y din (4.195).
2. Se calculează rotaţia P astfel încât (P H y)(2) = 0.
3. S ← diag(I k−1 ,P H ,I n−k−1 )S
4. S ← Sdiag(I k−1 ,P,I n−k−1 )
iar algoritmul corespunzător, bazat pe procedurile din tabelul 4.3, este prezentat în
continuare.
Algoritmul 4.15 (P11c – Permutarea a două valori proprii adiacente)
(Date o matrice S ∈ IC n×n în formă Schur, matricea de transformare
iniţială Q ∈ IC n×n şi întregul k ∈ 1 : n−1, algoritmul suprascrie
matriceaS cu matriceaS ′ = ˜Q H S ˜Qcarerealizeazăpermutareavalorilor
proprii s kk , s k+1,k+1 şi actualizează matricea de transformare Q.)
1. Dacă s kk ≠ s k+1,k+1 atunci
[ ]
s
1. y = k,k+1
s k+1,k+1 −s kk
2. [y,c,s] = Gc(y)
3. s kk ↔ s k+1,k+1
4. Dacă k > 1 atunci
1. S(1 : k−1,k : k+1) = Gcd(S(1 : k−1,k,k+1),c,s)
5. Dacă k < n−1 atunci