Calculul valorilor si vectorilor proprii

6.1. FORMULAREA PROBLEMEI 447
( [ ] [ ])
1 0 0 0
Exemplul 6.1 Perechea de matrice A = ,B = nu are nici
(
0
[
3
]
1
[
0
])
1 2 1 0
o valoare proprie generalizată, perechea A = ,B = are una
0 3 0 0
singură ( [ şi orice ] număr [ λ ∈ IC ]) este valoare proprie generalizată pentru perechea
1 2 1 0
A = ,B = . ✸
0 0 0 0
Pentru a elimina cazul nedeterminat, când toate numerele complexe sunt valori
proprii generalizate, caz care nu poate fi obiectul unei probleme de calcul, vom
presupune în continuarecăpolinomul caracteristical fascicolului definit de perechea
(A,B) nu este identic nul. În acest cazfascicolul se numeşte regulat 3 . De asemenea,
vom conveni că un fascicol regulat de ordinul n având gradul polinomului caracteristic
k < n (i.e. având k valori proprii generalizate finite, nu neapărat distincte)
are n−k valori proprii infinite 4 . Cu această convenţie, spectrul de valori proprii
λ(A,B) al unui fascicol regulat de ordinul n va avea întotdeauna exact n elemente.
Dacă matricea B (sau A) este nesingulară fascicolul definit de perechea (A,B)
poate fi numit nesingular. Un fascicol se numeşte hermitic (în cazul real, simetric)
pozitiv definit dacă matricele A şi B sunt hermitice (simetrice), iar matricea B este
pozitiv definită.
Vectorii proprii generalizaţi, introduşi prin definiţia 6.1, satisfac sistemul liniar
omogen singular (6.3). Prin urmare, fiecărei valori proprii generalizate finite îi
corespunde cel puţin un vector propriu. Dacă perechea (A,B) este reală, vectorii
proprii generalizaţi asociaţi valorilor proprii generalizate complex conjugate pot fi
aleşi complex conjugaţi. Mulţimea vectorilorpropriigeneralizaţi asociaţi unei valori
proprii generalizate finite λ i formează subspaţiul liniar U i = Ker(A−λ i B) ⊂ IC n a
cărui dimensiune ν i constituie multiplicitatea geometrică a lui λ i .
6.1.2 Subspaţii de deflaţie
Corespondentul generalizat al conceptului de subspaţiu invariant este subspaţiul de
deflaţie, definit în felul următor.
Definiţia 6.2 Fie o pereche (A,B) ∈ IC n×n ×IC n×n , un subspaţiu liniar k-dimensional
S din IC n şi subspaţiul liniar
V def
= AS +BS = {z ∈ IC n |z = Ax+By, cu x,y ∈ S}.
Subspaţiul S se numeşte subspaţiu de deflaţie al perechii (A,B) dacă
dimV ≤ dimS. (6.6)
Pentru proprietăţile subspaţiilor de deflaţie ale fascicolelor de matrice recomandăm
consultarea referinţei [VI].
3 În caz contrar (i.e. polinomul caracteristic este identic nul sau matricele nu sunt pătrate)
fascicolul se numeşte singular.
4 Justificarea acestei convenţii va deveni limpede mai târziu.