Calculul valorilor si vectorilor proprii
Calculul valorilor si vectorilor proprii
Calculul valorilor si vectorilor proprii
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
6.2. FORMA SCHUR GENERALIZATĂ 451<br />
în mod necesar, un proces (iterativ) infinit, aceeaşi <strong>si</strong>tuaţie apărând şi la calculul<br />
<strong>vectorilor</strong> <strong>proprii</strong> generalizaţi fără a se cunoaşte valorile <strong>proprii</strong> asociate. Există<br />
şi aici metode corespondente pentru metodele puterii şi puterii inverse de calcul<br />
iterativ al unui vector propriu generalizat pe care le propunem spre elaborare cititorului<br />
(v. exerciţiul 6.6). Pentru a<strong>si</strong>gurarea eficienţei acestor procese iterative este<br />
esenţială exploatarea rezultatelor structurale parţiale care se face prin reducerea<br />
corespunzătoare a dimen<strong>si</strong>unii problemei. Baza teoretică a acestor reduceri este<br />
dată de propoziţia 6.2.<br />
Pentru k = 1 propoziţia 6.2 se particularizează într-un corespondent ”generalizat”allemei<br />
dedeflaţieunitară4.2. Aplicareaconsecventăaacesteiane conducela<br />
următorul rezultat important a cărui demonstraţie, fiind <strong>si</strong>milară cu demonstraţia<br />
teoremei 4.12, este lăsată în sarcina cititorului.<br />
Teorema 6.1 (Forma Schur generalizată) Oricare ar fi perechea (A,B) ∈ IC n×n ×<br />
×IC n×n există matricele unitare Q,Z ∈ IC n×n astfel încât<br />
Q H AZ = S, Q H BZ = T, (6.14)<br />
unde matricele S, T sunt superior triunghiulare. Perechile de elemente diagonale<br />
(s ii ,t ii ) cu t ii ≠ 0 ale matricelor S şi T determină valorile <strong>proprii</strong> generalizate<br />
(finite)<br />
λ i = s ii<br />
t ii<br />
(6.15)<br />
ale perechii (A,B). Cele n perechi de elemente diagonale pot fi dispuse în orice<br />
ordine predeterminată.<br />
Perechea (S,T) se numeşte forma Schur generalizată (FSG) a perechii (A,B),<br />
iar coloanele q i , respectiv z i , ale matricelor de transformare Q şi Z se numesc<br />
vectori Schur generalizaţi ai perechii (A,B) la stânga, respectiv la dreapta, asociaţi<br />
FSG (S,T).<br />
Dacă matricea B este ne<strong>si</strong>ngulară, atunci şi T este ne<strong>si</strong>ngulară, i.e. t ii ≠ 0<br />
pentru toţi i ∈ 1:n. Dacă B este <strong>si</strong>ngulară, perechilor (s ii ,t ii ) cu s ii ≠ 0 şi t ii = 0<br />
le corespund valorile <strong>proprii</strong> generalizate pe care am convenit să le con<strong>si</strong>derăm<br />
infinite. Justificarea acestei convenţii este, acum, evidentă dacă avem în vedere<br />
(6.15). Pentru fascicoleleregulate, con<strong>si</strong>derateaici, nu este po<strong>si</strong>bil să avem<strong>si</strong>multan<br />
s ii = 0 şi t ii = 0 pentru nici un i.<br />
În practică, pentru a se evita introducerea <strong>valorilor</strong> infinite, se recomandă definirea<br />
<strong>valorilor</strong> <strong>proprii</strong> generalizate prin intermediul perechilor (s ii ,t ii ). În multe<br />
aplicaţii acestea pot fi utilizate fără a efectua explicit împărţirea din (6.15).<br />
Fie, acum, S 11 = S(1:k,1:k), T 11 = T(1:k,1:k) submatricele lider principale<br />
de ordinul k ∈ 1 : n ale matricelor superior triunghiulare S şi T din (6.14) care<br />
definesc FSG a perechii (A,B). Dacă notăm Q 1 = Q(:,1:k) şi Z 1 = Z(:,1:k),<br />
atunci din (6.14) avem<br />
AZ 1 = Q 1 S 11 , BZ 1 = Q 1 T 11 .<br />
FiesubspaţiulS = ImZ 1 ⊂ IC n . ÎntrucâtdinrelaţiiledemaisusrezultăAS ⊂ ImQ 1,<br />
BS ⊂ ImQ 1 avem<br />
V = AS +BS ⊂ ImQ 1 .
Change language