Calculul valorilor si vectorilor proprii

INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII 515
În al doilea caz, dacă A este epică cu m < n obţinem
AN = L = [L ′ 0], N = [N ′ N ′′ ],
unde N ′′ este o bază (neortogonală) a subspaţiului [ N = ] KerA. Considerând sistemul
u
′
subdeterminat Ax = b şi notând x = Nu = N
u ′′ , obţinem sistemul echivalent
L ′ u ′ = b. Prin urmare, o soluţie a sistemului Ax = b este 19
x B = N
[
(L ′ ) −1 b
iar mulţimea tuturor soluţiilor este x = x B + N ′′ u ′′ , unde u ′′ ∈ IR n−m este un vector
arbitrar.
Pe scurt, analiza elementară a sistemelor liniare Ax = b cu m ≠ n poate fi făcută
utilizând metoda eliminării [ gaussiene. ]
Q
H
0
P3.52 a. Fie S =
0 (R ′ ) −H . Calculaţi SHS H şi găsiţi apoi permutarea
potrivită.
[ ]
P2 (A + ) H
b. Procedaţi direct, arătând că H
A + −G −1 = I m+n, sau ţineţi seama de
semnificaţia lui H în problema CMMP din secţiunea 3.5.
P3.54 a. (A T SA+T)x ∗ = A T Sb. Ţineţi seama de problema 3.46.
b. A trebuie să fie monică. Utilizând factorizarea Cholesky S = D1 T D 1 şi notând
A ← D 1A, b ← D 1b, se obţine problema CMMP din secţiunea 3.5.
P3.55 a. Notând cu λ ∈ IR m vectorul multiplicatorilor, funcţia lui Lagrange este
L(x,λ) = 1 2 xT Gx−x T c+λ T (Ax−b).
Anulând derivatele parţiale ale lui L, se obţin condiţiile
0
]
,
Gx ∗ −c+A T λ ∗ = 0, Ax ∗ = b. (7.9)
În cazul G > 0, se utilizează factorizarea Cholesky G = R T R pentru a reduce problema la
cea standard din secţiunea 3.6.
b. Pentru a rezolva sistemul (7.9) se utilizează procedura de triangularizare ortogonală
la dreapta AZ = [L 1 0], unde L 1 este inferior triunghiulară inversabilă. Notând
[ ]
x ∗ u1
= Zu, u =
u 2
precum şi
se obţine
Z T GZ =
⎧
⎨
⎩
[ ] [ ]
H11 H 12
H12 T , Z T d1
c = ,
H 22 d 2
H 11u 1 +H 12u 2 +L T 1λ ∗ = d 1
H12u T 1 +H 22u 2 = d 2
L 1u 1 = b.
19 În terminologia specifică programării liniare, x B se numeşte soluţie de bază.