Calculul valorilor si vectorilor proprii

6.3. ALGORITMUL QZ 467
construcţia şirului de perechi (H k ,T k ) astfel încât matricea G k = H k T −1
k
să fie
matricea corespunzătoare a şirului QR pentru matricea G. Principalul avantaj
de natură numerică al acestei abordări constă în evitarea inversării matricei T k şi
eliminarea, datorită acestui fapt, a unei posibile instabilităţi numerice cauzate de o
condiţionare necorespunzătoare a lui T k .
Precizăm de la început două consecinţe ale faptului că iteraţiile QZ reprezintă o
formă mascată a iteraţiilor QR (pentru a căror motivare recomandăm consultarea
capitolului 4):
a) conservarea formei Hessenberg generalizate pe parcursul procesului iterativ;
b) excelente proprietăţi de convergenţă către forma Schur (reală) generalizată.
A. Un pas QZ pentru perechi complexe
Conform celor prezentate în capitolul 4, un pas simplu QR cu deplasare implicită
pentru matricea G k = H k T −1
k
realizează următoarea secvenţă de calcule.
1. Secalculeazăprimacoloanăq (k)
1 amatriceiQ k cedefineştetransformarea
unitară aferentă unui pas simplu QR cu deplasare explicită.
2. Se determină o matrice unitară P astfel încât prima coloană a lui
P să fie q (k)
1 , i.e. Pe 1 = q (k)
1 .
3. Se calculează matricea F = P H G k P (a cărei structură nu mai este
superior Hessenberg).
4. Se aplicăalgoritmulHQde reducereamatriceiF la formasuperior
Hessenberg rezultând matricea succesor G k+1 = H k+1 T −1
k+1 .
Fie, pentrusimplificareanotaţiilor,(H k ,T k ) not
= (H,T)perecheacurentăaşirului
QZ, presupusă ireductibilă, (H k+1 ,T k+1 ) not
= (H ′ ,T ′ ) perechea succesor precum şi
G = HT −1 , G ′ = H ′ (T ′ ) −1 . Urmând etapele din schema de calcul de mai sus vom
transfera transformările matricei G perechii (H,T). Avem următoarele particularităţi.
1. Expresia deplasării curente µ = g nn în raport cu elementele matricelor H şi
T este
µ = h n,n
− h n,n−1t n−1,n
. (6.49)
t n,n t n−1,n−1 t n,n
Dacă µ ∉ λ(G), i.e. G−µI n este nesingulară, atunci prima coloană a matricei
not
de transformare Q k = Q este
⎡ ⎤
h 11
⎢ −µ
t 11
⎥
q 1 = Qe 1 = ρ
⎢
⎣
h 21
t 11
0
.
0
, (6.50)
⎥
⎦