Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 311
În continuare fie matricea N 1 , unitar asemenea cu N, definită de
δ 1
r 1
{}}{ {}}{
[ ]
N 1 = Z1 H NZ 1 = Z1 H 0 Q K1 }δ1
1R = , (4.251)
0 L 1 }r 1
unde, evident, λ(L 1 ) ⊂ λ(N), i.e. blocul L 1 are toate valorile proprii nule, respectiv
este nilpotent. Putem determinaacum m 2 = dimKerN 2 = dimKerN 2 1. Într-adevăr,
m 2 = dimKerN 2 1 = dimKer [ 0 K1 L 1
0 L 2 1
[
K1 L
= m 1 +dimKer 1
L 2 1
[ ] [
K1 L 1 K1
]
=
]
= m 1 +dimKerL 1 , (4.252)
L 1
]
L 1 , iar matricea
[
K1
]
întrucât
L 2 =
este monică. Dacă L
1
L 1 = 0
1
se trece la etapa a doua. Dacă L 1 ≠ 0 continuăm procesul iniţiat mai sus, prin
aplicarea unor transformări similare matricei nilpotente L 1 , obţinând
δ 2
r 2
{}}{ {}}{
[ ]
0 ˆN 2 = ẐH 2 L K2 }δ2
1Ẑ2 = , (4.253)
0 L 2 }r 2
[ ]
K2
cu matricea L 2 nilpotentă, matricea monică, m
L 2 = m 1 +δ 2 şi δ 2 = r 1 −r 2 .
2
Considerând matricea de transformare unitară
[ ]
Im1 0
Z 2 = , (4.254)
0 Ẑ 2
obţinem
δ 2 r 2
{}}{ {}}{ {}}{
⎡ ⎤ ⎡
0 K 1 Ẑ 2
Ñ 2 = Z2 H N 1 Z 2 = Z2 H Z1 H NZ 1 Z 2 = ⎣ 0 K ⎦
0 2
= ⎣ 0 K ⎤
12 K 13
0 0 K 23
⎦ }δ 1
}δ 2 ,
0 L 2
0 0 L 2 }r 2
[ ]
(4.255)
K23
în care matricele K 12 şi sunt monice. În această fază putem anula blocul
L 2
K 13 printr-o transformare de asemănare (neunitară) definită de o matrice de transformare
de tipul
[ ]
Iδ1 S
T 2 = , (4.256)
0 I r1
δ 1