Calculul valorilor si vectorilor proprii

406 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
În cazul datelor reale, algoritmul se particularizează fără dificultate, utilizând
procedura de calcul a unei rotaţii modificate reale, menţionată mai sus. Ca atare,
ne mărginim la precizarea sintaxei de apel:
[f,g,U ] = TZDr(f,g,i,U,opt).
În ambele situaţii, utilizându-se exclusiv transformări unitare, respectiv ortogonale,
precizia rezultatelor nu este afectată semnificativ.
✸
3. La fiecare iteraţie, după deciziile de anulare a elementelor supradiagonale
neglijabile şi după tratarea elementelor diagonale nule, se determină parametrii
structurali p şi q astfel încât matricea J curentă să poată fi scrisă sub forma
J =
p
{}}{ n−p−q
{}}{
⎡
⎢
⎣
q
{}}{
⎤
J 11 0 0
0 J 22 0
0 0 J 33
0 0 0
⎥
⎦
}p
}n−p−q
}q
}m−n
(5.96)
unde p este cel mai mic întreg, iar q cel mai mare întreg astfel încât blocul J 33
este diagonal, iar blocul bidiagonal J 22 este ireductibil, i.e. are toate elementele
supradiagonale nenule şi toate elementele diagonale (mai puţin, eventual, ultimul),
de asemenea, nenule. În termenii vectorilorf şi g, prin careeste memoratămatricea
J, condiţiile de mai sus devin
g(n−q+1: n−1) = 0, g i ≠ 0, i = p+1 : n−q, f i ≠ 0, i = p+1 : n−q−1.
(5.97)
Evident, iteraţia DVS curentă se aplică numai blocului ireductibil J 22 , i.e.
J 22 ← J ′ 22 = U H 22J 22 V 22 (5.98)
care este echivalentă cu următoareatransformareunitară bilaterală aplicată intregii
matrice J
J ← J ′ = diag(I p ,U 22 ,I m−p−q ) H Jdiag(I p ,V 22 ,I n−p−q ). (5.99)
Dacă blocul ireductibil J 22 are dimensiunea 2×2 atunci devine mai eficient calculul
direct al DVS a acestuia. Având în vedere faptul că în acest caz matricea 2 × 2
este şi triunghiulară propunem cititorului scrierea unei proceduri care să realizeze
acest lucru (caz particular al exerciţiului 5.2). Aici ne vom mărgini la specificarea
sintaxei de apel a acestei proceduri care va fi utilizată
[f,g,U,V ] = DVS 2(f,g)
unde, evident, f este un vector cu două elemente, iar g este un scalar anulat de
procedură.
4. Procesul de diagonalizare se termină în momentul în care au fost anulate
toate elementele supradiagonale, i.e. toate componentele vectorului g, sau, altfel
spus, când parametrul structural q ia valoarea n−1.