Calculul valorilor si vectorilor proprii

448 CAPITOLUL 6. VALORI ŞI VECTORI PROPRII GENERALIZAŢI
Problema de calcul care face obiectul acestui capitol este determinarea valorilor
proprii generalizate ale unui fascicol regulat dat. Problema calculului vectorilor
proprii generalizaţi va fi tratată în subsidiar ţinând seama şi de faptul că, în multe
aplicaţii, calculul explicit al acestora poate fi (şi este bine să fie) evitat. Acest
demers calculatoriu se bazează în mare măsură pe următorul rezultat.
Propoziţia 6.2 Fie (A,B) ∈ IC n×n × IC n×n . Dacă există un subspaţiu de deflaţie
k-dimensional S ⊂ IC n al perechii (A,B), atunci există matricele unitare Q,Z ∈
∈ IC n×n astfel încât
[ ] [ ]
Q H S11 S
AZ = 12
, Q
0 S H T11 T
BZ = 12
, (6.7)
22 0 T 22
cu S 11 ,T 11 ∈ IC k×k .
Perechea (S 11 ,T 11 ) se numeşte restricţia perechii (A,B) la subspaţiul S.
def
Demonstraţie. Fie Z 1 = [z 1 z 2 ··· z k ] o matrice n×k ale cărei coloane formează
o bază ortogonală a subspaţiului de deflaţie S, Z 2 ∈ IC n×(n−k) o completare unitară
a lui Z 1 şi Z = [Z 1 Z 2 ]. Fie acum subspaţiul V = AS +BS, a cărui dimensiune
r satisface, prin definiţie, condiţia r ≤ k, Q 1 o matrice n × r ale cărei coloane
formează o bază ortogonală a acestui subspaţiu, Q 2 o completare unitară a lui Q 1
şi Q = [Q 1 Q 2 ]. Întrucât AS ⊂ V şi BS ⊂ V avem AS ⊥ ImQ 2 şi BS ⊥ ImQ 2 , i.e.
Q H 2 AZ 1 = 0 şi Q H 2 BZ 1 = 0 care, împreună cu inegalitatea r ≤ k, conduc imediat
la (6.7), q.e.d.
✸
Observaţia 6.2 Calculul matricelor unitare de transformare Q şi Z este condiţionat
esenţial de cunoaşterea unei baze a subspaţiului de deflaţie S. În cazul în
care se dispune de o bază a lui S, construcţia unei baze ortogonale Z 1 şi a unei
completări ortogonale Z 2 (şi, similar, a matricei Q) se face după recomandările din
capitolul 3 (vezi şi obs. 4.3).
✸
6.1.3 Fascicole echivalente
Ca şi în cazul valorilor proprii ordinare, suntem interesaţi să evidenţiem transformările
matriceale care conservă spectrul unui fascicol dat.
Definiţia 6.3 Două fascicole definite de perechile de matrice (A 1 ,B 1 ),(A 2 ,B 2 ) ∈
∈ IC n×n × IC n×n se numesc echivalente 5 dacă există matricele nesingulare P,R ∈
∈ IC n×n astfel încât
A 1 = PA 2 R, B 1 = PB 2 R. (6.8)
Dacă matricele de transformare P şi R sunt unitare, atunci perechile (A 1 ,B 1 ) şi
(A 2 ,B 2 ) se numesc unitarechivalente. În cazul real, dacă matricele de transformare
P, R sunt ortogonale, cele două perechi se numesc ortogonal echivalente.
5 Un fascicol A − λB poate fi privit ca o matrice polinomială. Din acest punct de vedere
echivalenţa definită aici coincide cu echivalenţa strictă a matricelor polinomiale (vezi [I]).