Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.5. CALCULUL VECTORILOR PROPRII 281
4. Pentru i = l+1 : n
1. λ re (i) = a ii , λ im (i) = 0
Acest program calculează matricea de transformare nesingulară (dar nu în mod
necesar ortogonală) T ∈ IR n×n şi matricea A ← S ∈ IR n×n în formă Schur reală,
astfel încât A ← S = T −1 AT, precum şi toate valorileproprii. El poate fi completat
cu calculul vectorilorproprii, al unorbazepentru subspaţii invarianteetc., probleme
tratate în alte secţiuni ale capitolului.
4.5 Calculul vectorilor proprii
Este important de precizat că în multe aplicaţii (cum este, e.g. calculul subspaţiilor
invariante) vectorii proprii pot fi înlocuiţi cu succes de către vectorii Schur.
Dacăsedoreştetotuşideterminareaexplicităavectorilorpropriix i , i ∈ I ⊂ 1:n,
ai unei matrice n×n A date, aceştia pot fi calculaţi în următoarele două modalităţi
folosite curent.
a) Dacă numărul vectorilor proprii ce trebuie calculaţi depăşeşte 25 de procente
din numărul total, atunci se recomandă următoarea schemă de calcul:
VP 1 1. Se calculează formă Schur (reală), utilizând algoritmul QR corespunzător,
cu acumularea transformărilor, i.e. se calculează matricea (cvasi-)
superior triunghiulară S şi matricea unitară (ortogonală) Q astfel încât
S = Q H AQ.
2. Se calculează vectorii proprii v i ai matricei S, asociaţi valorilor proprii
de interes, prin rezolvarea sistemelor liniare omogene corespunzătoare.
3. Vectorii proprii x i ai matricei iniţiale A se calculează cu relaţia
x i = Qv i .
În cadrul acestei scheme singura problemă netratată exhaustiv până acum este
calculul vectorilor proprii ai formelor Schur (reale).
b) Dacă numărul vectorilor proprii ce trebuie calculaţi este relativ mic, atunci
se consideră mai economică următoarea schemă de calcul:
VP 2 1. Se determină, utilizând algoritmul HQ, forma superior Hessenberg
H = Q H AQ, a matricei A, cu acumularea transformărilor Q.
2. Se calculează valorile proprii de interes, cel mai adesea prin execuţia
fazei iterative a algoritmului QR corespunzător, fără acumularea
transformărilor.
3. Se calculează vectorii proprii w i ai matricei H, asociaţi valorilor proprii
de interes, prin câteva iteraţii (teoretic, datorită cunoaşterii valorilor
proprii, într-o singură iteraţie) ale metodei puterii inverse.
4. Vectorii proprii x i ai matricei iniţiale A se calculează cu relaţia
x i = Qw i .