Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.3. ALGORITMUL DVS 395
utilizaţi la acest pas asigură conservarea zerourilor create la paşii precedenţi şi, prin
urmare, procesul de bidiagonalizare, iniţiat la pasul 1 ◦ , poate fi continuat.
În final, după p paşi, matricea A este suprascrisă de matricea bidiagonală
A ← J def
= A p = U H p ···U H 2 U H 1 AV 2 V 3···V n−1 = U H AV. (5.71)
Matricele unitare de transformare U şi V au, evident, expresiile
Demonstraţia este completă.
U = U 1 U 2···U p , V = V 2 V 3···V n−1 . (5.72)
În demonstraţia teoremei 5.8 s-a scos în evidenţă faptul că întregul proces de
diagonalizaresepoateefectuapeloc, înlocaţiiledememoriealeelementelormatricei
A. Mai mult, aşa cum se va vedea mai departe, locaţiile elementelor matricei A
pot servi pentru memorarea elementelor definitorii ale matricelor de transformare
utilizate. De asemenea, avându-se în vedere faptul că procesul iterativ conservă
structura superior bidiagonală, în continuare vom memora matricea bidiagonală J
numai prin vectorii f ∈ IC n al elementelor diagonale şi g ∈ IC n−1 al elementelor
supradiagonale (în cazul m ≥ n considerat) conform scrierii
⎡
J = U H AV =
⎢
⎣
⎤
f 1 g 1
f 2 g 2
. .. . ..
. .. gn−1
. (5.73)
f n ⎥
⎦
✸
Algoritmul de bidiagonalizare, prezentat în continuare, reproduce fidel ideile
demonstraţiei teoremei 5.8. Vom utiliza reflectori hermitici, caz în care matricea
bidiagonală care se obţine este, în general, complexă. Pentru un plus de claritate
prezentăm mai întâi o schemă de calcul.
JQ
1. p = min(m−1,n)
2. Pentru k = 1 : p
1. Se calculează reflectorul U k astfel încât
(Uk H A)(k +1 : m,k) = 0.
2. A ← Uk HA
3. Dacă k < n−1, atunci
1. Se calculează reflectorul V k+1 astfel încât
(AV k+1 )(k,k +2 : n) = 0.
2. A ← AV k+1
3. Dacă se doreşte calculul matricei U, atunci
1. U ← I m
2. Pentru k = p : −1 : 1
1. U ← U k U