Calculul valorilor si vectorilor proprii

358 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
• Vectori proprii:
• Subspaţii invariante:
θ(ˆx i ,x i ) ≤ p(n)‖A‖ Fε M
gap i
. (4.368)
θ(ŜI,S I ) ≤ p(n)‖A‖ Fε M
gap I
. (4.369)
Pentru detalii recomandăm consultarea referinţelor bibliografice [XI], [XII], [XV].
4.12 Rutine LAPACK şi MATLAB
LAPACK. Calculul valorilor şi vectorilor proprii ai unei matrice A este efectuat
în LAPACK de câteva rutine driver, diferenţiate de tipul matricei (generală sau
simetrică) şi de gradul de detaliere a rezultatelor.
Pentru matrice generale există două categorii de rutine driver.
1. Rutina xGEES calculează forma Schur a matricei A şi eventual vectorii Schur,
folosindalgoritmulQR. FormaSchurpoate fi ordonată, însensul căosubmulţime
a valorilor proprii, aleasă de utilizator, se va afla în colţul stânga-sus al
formei Schur (ca în schema FSC ORD p ).
Driverul expert xGEESX calculează în plus numerele de condiţie ale valorilor
proprii.
2. Rutina xGEEV calculează valorile şi eventual vectorii proprii ai matricei A.
Rutina expert xGEEVX poate efectua suplimentar şi scalarea matricei (ca în
algoritmii din secţiunea 4.7) sau calcula numerele de condiţie ale valorilor
proprii.
Pentru matricele simetrice, driverul simplu xyyEV (unde yy este SY, HE, SP, HP,
SB, HB, ST; ultima notaţie este pentru matrice simetrice tridiagonale) calculează
valorile şi, eventual, vectorii proprii, utilizând algoritmul QR simetric.
Rutina expert xyyEVX poate calcula şi toate sau numai o submulţime a valorilor
proprii şi, opţional, vectorii proprii corespunzători.
Rutinele de calcul sunt mult mai numeroase, de aceea ne vom mărgini la
prezentarea celor mai importante.
Pentru matrice generale, diversele faze ale calculului sunt implementate astfel:
• xGEHRD realizează reducerea unei matrice oarecare A la forma Hessenberg
H prin transformări de asemănare ortogonale (ca în algoritmul HQc din
secţiunea 4.4.1).
• xHSEQR implementează faza iterativă a algoritmului QR, transformând H în
forma Schur, cu acumularea opţională a transformărilor (şi deci obţinerea
vectorilor Schur).