Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.6. APLICAŢIILE DVS 427
minimul atingându-se pentru
Rezultă
(H +F) ∗ =
n∑
j=1
σ j u j v H j = U 1 Σ 1
[
V11
V 21
] H
. (5.148)
F ∗ = U 1 Σ 1
[
V11
V 21
] H
−H = −U 2 Σ 2
[
V21
V 22
] H
, (5.149)
de unde se obţine imediat (5.142). Mai mult, conform lemei 5.1, în condiţiile teoremei
aveminegalitateastrictă σ n > σ n+1 , ceeace asigurăunicitateamatricei G = G ∗
care minimizează expresia (5.137).
În finalul demonstraţiei vom arăta că X ∗ din (5.144) este unica soluţie a sistemului
(A+E ∗ )X = B +R ∗ care, conform (5.146), poate fi scris şi sub forma
(H +CG ∗ D)D −1 [ X
−I p
]
= 0. (5.150)
Pentru aceasta, din expresia (5.142) a matricei G ∗ şi DVS a matricei H rezultă
H +CG ∗ [ ]
D = U 1 Σ 1 V
H
11 V21
H , (5.151)
de unde, datorită monicităţii matricei U 1 Σ 1 , rezultă
Ker(H +CG ∗ D) = Ker [ V11 H V21
H
]
= Im
[
V12
V 22
]
. (5.152)
Prin urmare, din (5.150) şi (5.143) rezultă că orice soluţie X satisface relaţiile
[ ] [ ] {
D −1 X V12 D
−1
= Y ⇒
1 X = V 12Y
−I p V 22 D2 −1 (5.153)
= V 22 Y.
Deci, în virtutea lemei 5.1, avem Y = −V22 −1 D−1 2 . În concluzie, în mod necesar, din
(5.153) rezultă că unica (pseudo)soluţie, în sens CMMPT, este
i.e. (5.144). Teorema este demonstrată.
X = D 1 V 12 Y = −D 1 V 12 V −1
22 D−1 2 = X ∗ ,
Prezentăm în continuare o modalitate de calcul a soluţiei problemei CMMPT
care derivă nemijlocit din demonstraţia teoremei 5.16.
Algoritmul 5.8 (CMMPT – Soluţia problemei CMMPT) (Se dau
matricele A ∈ IC m×n , B ∈ IC m×p , cu m ≥ n+p, precum şi matricele diagonalenesingulareC
= diag(c 1 ,c 2 ,...,c m ) ∈ IC m×m şi D=diag(D 1 ,D 2 )
∈ IC (n+p)×(n+p) , unde D 1 = diag(d 1 ,d 2 ,...,d n ), D 2 = diag(d n+1 , d n+2 ,
..., d n+p ). Algoritmul calculează soluţia (dacă există a) problemei
CMMPT, definite de cvartetul (A,B,C,D), i.e. calculează matricele
E = E ∗ ∈ IC m×n şi R = R ∗ ∈ IC m×p care sunt soluţia problemei de minimizare
(5.137) precum şi soluţia X ∗ a sistemului liniar (A+E ∗ )X =
= B + R ∗ . Dacă soluţia nu există sau nu este unică se tipăreşte un
mesaj, iar elementele tripletului (E ∗ ,R ∗ ,X ∗ ) rămân vide.)
✸