Calculul valorilor si vectorilor proprii

6.4. CALCULUL SUBSPAŢIILOR DE DEFLAŢIE 491
De multe ori este mai comod ca în locul permutării π să utilizăm permutarea
inversă σ = π −1 = {j 1 ,j 2 ,...,j n }. În acest caz, algoritmul suprascrie perechea
(S,T) cu perechea unitar echivalentă (S,T) ← (S ′ ,T ′ ) = (˜Q H S ˜Z, ˜Q H T ˜Z) care are
(s ′ kk ,t′ kk ) = (s j k ,j k
,t jk ,j k
) şi o variantă a sa arată astfel.
1. Pentru k = 1 : n−1
1. Dacă k ≠ j k atunci
1. Pentru i = (j k −1) : −1 : k
1. [S,T,Q,Z] = PG11c(S,T,Q,Z,i)
2. Pentru i = (k +1) : n
1. Dacă j i < j k atunci j i = j i +1.
După execuţia acestui algoritm coloanele matricei actualizate Z(:,1:k) formează
o bază ortogonală a subspaţiului de deflaţie S k asociat setului de valori proprii
Λ k = {λ i = (s ii ,t ii )|i ∈ {j 1 ,j 2 ,...,j k }} (în numerotarea iniţială). ✸
6.4.2 Ordonarea formei Schur reale generalizate
În cazul real forma Schur generalizată (S,T) ∈ IR n×n ×IR n×n a fascicolului definit
de (A,B) ∈ IR n×n × IR n×n are matricea S în formă Schur reală, iar matricea T
superior triunghiulară. Vom considera partiţiile bloc ale matricelor S şi T dictate
de dimensiunile l k ×l k cu l k ∈ {1,2}, k = 1 : p, ale blocurilor diagonale ale lui S:
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
S 11 S 12 ··· S 1p T 11 T 12 ··· T 1p
0 S 22 ··· S 1p
S = ⎢
⎣
.
. . ..
⎥
. ⎦ , T = 0 T 22 ··· T 1p
⎢
⎣
.
. . ..
⎥
. ⎦ . (6.83)
0 0 ··· S pp 0 0 ··· T pp
Problema calculului subspaţiilor de deflaţie reale asociate unor seturi simetrice de
valoripropriigeneralizaterevinelaordonareacorespunzătoareablocurilordiagonale
ale formei Schur reale generalizate. În acest scop este necesar să ştim să permutăm
două perechi de blocuri adiacente. Permutarea a două perechi de blocuri vecine
1 × 1 se face cu algoritmul PG11c cu singura menţiune că toate transformările
utilizatesuntreale(cureducereacorespunzătoareanumăruluideoperaţii). Întrucât
scrierea variantei reale a algoritmului se rezumă la înlocuirea siglei c cu sigla r în
identificatorii procedurilor, ne mărginim să introducem sintaxa de utilizare
[S,T,Q,Z] = PG11r(S,T,Q,Z,k).
Rămânesăarătămcumsepotpermuta, printransformăriortogonaledeechivalenţă,
două perechi de blocuri diagonale vecine din care cel puţin una din perechi are
blocurile de ordinul 2.
Considerăm acum perechea de matrice de ordin 3 sau 4, partiţionate identic,
S =
[ ]
S11 S 12
, T =
0 S 22
[
T11 T 12
0 T 22
]
, (6.84)