Calculul valorilor si vectorilor proprii

328 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
2. % Determinarea lui q
C^at timp g n−q−1 = 0
1. q ← q +1
3. % Terminarea algoritmului
Dacă q = n−1 atunci return
4. % Determinarea lui p
1. p = n−q −1
2. C^at timp g p ≠ 0
1. p ← p−1
5. [f(p+1 : n−q),g(p+1 : n−q −1),c,s] =
=IT QRsim(f(p+1 : n−q),g(p+1 : n−q −1))
6. Dacă opt=’da’ atunci
1. Pentru i = 1 : n−p−q
1. Q(:, p+i:p+i+1)= Grd(Q(:, p+i:p+i+1),c i ,s i )
Comentarii. Sintaxa de apel a algoritmului QR simetric este
[f,Q] = QRsim(A,Q,tol,opt).
Algoritmul QR simetric reprezintă cel mai bun instrument numeric de calcul al
întregului spectru al unei matrice simetrice reale. Dacă nu se acumulează transformările,
algoritmul este foarte rapid, numărul de flopi necesar pentru calculul
tuturor valorilor proprii fiind estimat, în medie, la N op = 4n 3 /3 fără acumularea
transformărilor şi la N op = 9n 3 dacă transformările se acumulează. Pentru
o toleranţă de ordinul ε M valorile proprii calculate sunt valori proprii exacte
pentru o matrice simetrică foarte apropiată, algoritmul având o bună stabilitate
numerică. Mai mult, spre deosebire de cazul nesimetric, aici se poate
afirma că eroarea absolută pentru fiecare valoare proprie calculată este mică, i.e.
|λ i −f i | ≈ tol‖A‖ 2 . Dacă se doreşte calculul vectorilor proprii, atunci se utilizează
apelul [f,Q] = QRsim(A,I n ,tol, ′ da ′ ). În această situaţie x j = Q(:,j) este un
vectorpropriucalculat asociatvaloriipropriiλ j ≈ f j . Acurateţeavectoruluipropriu
calculat este dependentă de separarea valorii proprii asociate de restul spectrului.
Algoritmul asigură o foarte bună ortogonalitate a vectorilor proprii calculaţi. Pentru
detalii suplimentare asupra stabilităţii numerice a se vedea §4.11. ✸
4.8.3 Algoritmul QR pentru matrice hermitice
Fie C = A + iB cu A,B ∈ IR n×n o matrice hermitică, i.e. C H = C, ceea ce
implică simetria matricei A şi antisimetria matricei B. Deci A T = A şi B T = −B.
Aşa cum s-a arătat în secţiunea 4.1 matricele hermitice au spectrul real şi sunt
unitar diagonalizabile. Pentru calculul valorilor proprii ale unei matrice hermitice
cu algoritmul QR, în practica numerică se întâlnesc două abordări.
I. Fie λ ∈ λ(C) şi x = u+iv, cu u,v ∈ IR n , un vector propriu asociat. Atunci
{ Au−Bv = λu,
Cx = λx ⇔
(4.295)
Bu+Av = λv,