Calculul valorilor si vectorilor proprii

520 INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII
[ ]
P4.30 Fie matricea hermitică B = U1 H a11 βe T 1
AU 1 = = F + G, unde F =
¯βe 1 C
[ ] [ ]
a11 0 0 βe
T
= , G = 1
= F + G, obţinută după aplicarea primului pas al
0 C ¯βe 1 0
algoritmului de tridiagonalizare TQ. Evident µ = ‖A(1,2 : n‖ 2 = |β|, iar matricele F şi G
sunt hermitice. Cum a 11 ∈ λ(F), iar λ min(G) = −µ şi λ max(G) = µ, conform teoremei 4.6
rezultă exisţenţa unei valori proprii λ a lui B, i.e. alui A, astfel încât a 11−µ ≤ λ ≤ a 11+µ,
q.e.d.
[ ] [ ]
1 i 1 i
P4.31Deexemplu, matricele complexeA = şiB = suntsimetrice.
i 1 i i
A este normală, dar B nu.
P4.32 Fie S = Q H AQ forma Schur a lui A şi M = max i=1:n−1 (|s ij|). Considerăm matricea
diagonală D ∈ IR n×n de forma D = diag(1,δ,δ 2 ,...,δ n−1 ). Atunci ‖D −1 SD‖ ∞ =
j=i+1:n
= max ∑ n
i=1:n(|λ i|+
j=i+1 |sij|δj−i ) ≤ max ∑ n
i=1:n(|λ i|+M
j=i+1 δj−i ) ≤ max i=1:n(|λ i|+
+M ∑ n−1
j=1 δj ). Alegând δ astfel încât ∑ n−1
j=1 δj ≤ M (arătaţi că se poate!) atunci se
ǫ
obţine inegalitatea ‖D −1 Q H AQD‖ ∞ ≤ ρ(λ)+ǫ. Este uşor de văzut că ‖·‖ : IC n×n → IR +
definită de ‖X‖ = ‖D −1 Q H XQD‖ ∞ este o normă matriceală consistentă.
P4.33Pentruorice matrice T ∈ IC n×n nesingulară şi B = T −1 AT avemB k = T −1 A k T.
Prin urmare, A este convergentă dacă şi numai dacă este convergentă orice matrice asemenea
cu A. Pentru matricele diagonalizabile rezultatul este imediat. În cazul general, se
utilizează forma canonică Jordan arătând că un bloc Jordan J λ (vezi notaţia din problema
4.16) este convergent dacă şi numai dacă |λ| < 1.
P4.34 Pentru fiecare matrice şi transpusa ei se aplică teorema Gershgorin şi se intersectează
domeniile astfel obţinute.
P4.35 Punctul cel mai depărtat de originea planului complex al reuniunii discurilor
Gergshgorin se află la distanţa δ = max i=1:n(|a ii| +r i) = max ∑ n
i=1:n( |aij|) = ‖A‖∞.
j=1
Prin urmare ρ(A) ≤ ‖A‖ ∞. Aplicând acelaşi raţionament şi pentru matricea A T se obţine
evaluarea ρ(A) ≤ min(‖A‖ 1,‖A‖ ∞), rezultat în deplină concordanţă cu teorema 4.10.
P4.36 a) Se utilizează b ij = a ij
δ j
δ i
. În principiu, da (v. punctul b)). b) Dacă A
are toate elementele pozitive avem r = min D‖D −1 AD‖ ∞ = min τ>0(max(a 11+τa 12,a 22+
+ 1 τ a21)) (am notat τ = δ 2
δ1
). Se obţine r = ρ(A). c) r = 3+ √ 7 > √ 14 = ρ(A).
P4.37 Din teorema discurilor Gershgorin se obţine λ(A) ⊂ D = [−21,31]. Da, de
exemplu scalând cu D = diag(1,2,2) se obţine λ(A) ⊂ D ′ = [−13,27]. (Spectrul lui A
este λ(A) = {−9,−9,27}).
P4.38 a) 0 nu aparţine nici unui disc Gersgorin, deci 0 ∉ λ(A). b) Toate discurile
Gershgorin sunt situate în IC + = {λ ∈ IC | Reλ > 0}. c) Caz particular al lui b).
P4.39 a) Dacă A are (cel puţin) o linie nulă, atunci rezultatul este evident. În caz
contrar, fie δ i = ∑ n
|aij| > 0, i = 1 : n, şi D = diag(δ1,δ2,...,δn). Matricea B = j=1 D−1 A
are ρ(B) ≤ ‖B‖ ∞ ≤ 1. Deci, |detB| = ∏ n
|λi(B)| ≤ 1. Inegalitatea cerută se obţine din
i=1
|detA| = |detD|·|detB| ≤ |detD|. b) Se aplică a) pentru matricea A T .
P4.40 Rezultatul generalizează teorema discurilor lui Gershgorin, care se obţine luând
α = 1 (pentru A) sau α = 0 (pentru A T ). De aceea considerăm numai cazul α ∈ (0,1).
Presupunem r i > 0, c i > 0, i = 1 : n (altfel există o linie sau o coloană cu toate elementele
extradiagonale nule, care poate fi deplasată în prima poziţie printr-o transformare de