Calculul valorilor si vectorilor proprii

428 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
1. E = [ ], R = [ ], X = [ ]
2. H = C[A B]D
3. [U,Σ,V] = DVS(H, ′ da ′ , ′ da ′ )
4. [P,Γ,Q] = DVS(H(:,1 : n), ′ nu ′ , ′ nu ′ )
5. Dacă γ n ≤ σ n+1 atunci
1. Tipăreşte(’Problema nu admite soluţie!’)
2. Return
6. Dacă σ n = σ n+1 atunci
1. Tipăreşte(’Problema nu admite o soluţie unică!’)
2. Return
7. Se rezolvă sistemul matriceal
X(D 2 V(n+1 : n+p,n+1 : n+p)) = −D 1 V(1 : n,n+1 : n+p)
8. E ∗ = −C −1 U 2 Σ 2 V H
1 , unde U 2 = U(:,n+1 : n+p),
Σ 2 = Σ(n+1 : n+p,n+1 : n+p), V 12 = V(1 : n,n+1 : n+p)
12D −1
9. R ∗ = −C −1 U 2 Σ 2 V H
22D −1
2 , unde V 22 = V(n+1 : n+p,n+1: n+p).
Comentarii. Sintaxa de apel a algoritmului este
[X,E,R] = CMMPT(A,B,C,D).
În cadrul algoritmului s-au folosit notaţiile evidente σ i = Σ(i,i) şi γ i = Γ(i,i).
Pentru date de intrare (A,B,C,D) reale algoritmul funcţionează ca atare întrucât
operatorul hermitic se reduce la cel de transpunere. Evident, într-un astfel de
caz se utilizează, în exclusivitate, o aritmetică reală. Singura problemă critică
este rezolvarea sistemului liniar matriceal de la instrucţiunea 7 care poate fi rău
condiţionat dacă valorile singulare σ n (H(:,1 : n)) şi σ n+1 nu sunt bine separate.
Inversarea matricelor diagonale nu ridică probleme numerice (şi nici nu trebuie
efectuată explicit). Complexitatea algoritmului este determinată, în primul rând,
de complexitatea calculului DVS.
✸
Dacă σ n = σ n+1 , CMMPT poate avea soluţii multiple şi, într-un astfel de caz,
cutuma CMMP este de a calcula soluţia de normă minimă. Vom numi această
soluţie CMMPT normală (CMMPTN). Avându-se în vedere expresia (5.154) a
soluţiilor, o normă adecvată este ‖ · ‖ D definită de ‖Z‖ D = ‖D1 −1 ZD 2‖ cu care
avem
‖X‖ 2 D = ‖V 12 V22 −1 ‖2 = λ max (V22 −H V12V H 12 V22 −1 ) =
= λ max (V22 −H (I p −V22V H 22 )V22 −1 ) = 1−σ2 min (V 22)
σmin 2 (V , (5.154)
22)
ceea ce indică faptul că a minimiza ‖X‖ D este echivalent cu maximizarea celei mai
mici valori singularea submatricei V 22 . Un algoritmpentru cazul importantşi uzual
p = 1, i.e. al problemei (5.129), poate fi găsit în [VI].