Calculul valorilor si vectorilor proprii

6.3. ALGORITMUL QZ 475
2. Se determină o matrice ortogonală U astfel încât prima coloană a
lui U T să fie q (k)
1 , i.e. UT e 1 = q (k)
1 .
3. Se calculează matricea F = U T G k U (a cărei structură nu mai este
superior Hessenberg).
4. Se aplicăalgoritmulHQde reducereamatriceiF la formasuperior
Hessenberg rezultând matricea succesor G k+2 = H k+2 T −1
k+2 .
Dacă matricea superior Hessenberg G k este ireductibilă, atunci, conform teoremei
4.9, rezultatul G k+2 al aplicării schemei de calcul de mai sus va fi esenţial
acelaşi cu cel dat de un pas dublu QR cu deplasare explicită. Notăm şi aici,
pentru simplificare, (H k ,T k ) not
= (H,T) perechea curentă a şirului QZ, presupusă
ireductibilă, (H k+2 ,T k+2 ) not
= (H ′ ,T ′ ) perechea succesor în cazul utilizării pasului
dublu precum şi G = HT −1 , G ′ = H ′ (T ′ ) −1 . Urmând etapele din schema de calcul
de mai sus vom transfera transformările matricei G perechii (H,T). Mai mult,
exploatând corespunzător avantajele structurale date de forma Hessenberg generalizată
a perechilor iniţială şi finală, complexitatea pasului dublu va fi O(n 2 ), ceea ce
în economia întregului algoritm este esenţial, reducând complexitatea algoritmului
QZ cu deplasare implicită la cea a variantei cu deplasare explicită şi asigurând,
în acelaşi timp, posibilitatea utilizării exclusive a aritmeticii reale. Detaliile sunt
prezentate în continuare.
1. Dacă notăm cu µ 1 şi µ 2 valorile proprii (posibil complexe) ale matricei
G(n−1 : n,n−1 : n), atunci în expresia primei coloane a matricei de transformare
Q k
not
= Q acestea apar sub forma sumei şi produsului (întotdeauna reale). Ţinânduse
seama de structura Hessenberg a matricelor G şi H, vom calcula elementele
blocului matriceal X = G(n−1 : n,n−2 : n) ∈ IR 2×3 ca soluţie a sistemului
triunghiular
XT(n−2: n,n−2 : n) = H(n−1 : n,n−2 : n),
care se rezolvă recurent, pe linii (exerciţiu pentru cititor)
⎧
x 11 = h n−1,n−2
t n−2,n−2
⎪⎨
x 12 = h n−1,n−1 −t n−2,n−1 x 11
t n−1,n−1
x 13 = h n−1,n −t n−2,n x 11 −t n−1,n x 12
t n,n
x 21 = 0
x 22 = h n,n−1
t n−1,n−1
(6.60)
⎪⎩
x 23 = h nn −t n−1,n x 22
t n,n
,
după care valorile căutate ale sumei şi produsului se obţin imediat
{
σ def
= µ 1 +µ 2 = x 12 +x 23 ,
π def
= µ 1 µ 2 = x 12 x 23 −x 13 x 22 .
(6.61)