Calculul valorilor si vectorilor proprii

342 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
1. Pentru p = 1 : q −1
1. [A,c,s] = IT J(A,p,q)
2. Dacă opt = ′ da ′ atunci
1. Pentru i = 1 : n
1. ρ = cq ip −sq iq
2. q iq ← sq ip +cq iq
3. q ip ← ρ
√
3. ν E = 2 ∑ n ∑ i−1
i=2 j=1 a2 ij
Comentarii. Sintaxa de apel a algoritmului J ciclic va fi
[A,Q] = J ciclic(A,Q,tol,opt),
iar complexitatea sa poate fi apreciată, statistic, la O(n 3 ) dacă n este relativ mare.
Pentrua mărieficienţa, există versiuni”cu prag”ale algoritmului J ciclic (v. [IV])
la care anularea elementelor extradiagonale are efectiv loc numai dacă modulul lor
este superior unui anumit prag. O reducere progresivă a pragului pe parcursul
procesului iterativ asigură conservarea şi chiar o îmbunătăţire a proprietăţilor de
convergenţă.
✸
Calculul vectorilor proprii prin intermediul metodelor tip Jacobi se realizează,
în esenţă, prin acumularea transformărilor. Concret, coloanele matricei de transformare
Q obţinute în urma apelului [A,Q] = J clasic(A,I n , ′ da ′ ) sau, respectiv, al
apelului [A,Q] = J ciclic(A,I n , ′ da ′ ), sunt vectorii proprii ai matricei A iniţiale,
mai precis coloana Q(:,j) este vector propriu asociat valorii proprii a jj din forma
finală a matricei A.
Analiza proprietăţilor de convergenţă [IV] a metodei clasice Jacobi a condus
la concluzia că în faza iniţială convergenţa poate fi considerată ca liniară, dar pe
măsură ce numărul iteraţiilor creşte şi elementele extradiagonale scad în modul,
convergenţa devine pătratică. Metoda Jacobi ciclică are o convergenţă pătratică.
Deşi viteza de convergenţă a metodelor tip Jacobi este inferioară celorlalte
metode de calcul al valorilorproprii ale matricelor simetrice (a se vedea convergenţa
asimptotic cubică a algoritmului QR simetric sau a metodei bisecţiei) totuşi, pentru
matrice de dimensiuni mai modeste aceste metode se pot dovedi, datorită simplităţii
lor, atractive. Metodele Jacobi reprezintă însăo alternativă viabilă la implementarea
pe echipamentele de calcul paralel, unde un grad superior de paralelism
poate compensa viteza mai redusă de convergenţă.
4.10 Condiţionarea valorilor şi vectorilor proprii
Precizia rezultatelor unui calcul cu datele iniţiale afectate de erori, cum sunt erorile
de reprezentare în format virgulă mobilă, este esenţial influenţată de sensibilitatea
acestor rezultate la variaţii în datele iniţiale sau, altfel spus, de condiţionarea problemei
respective (vezi cap. 0). Aprecierea condiţionării se face în ipoteza unor
calcule exacte, deci este independentă de modul efectiv de calcul. În continuare