Calculul valorilor si vectorilor proprii

376 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
atunci
U 2 = U 1 D
cu D = diag(e iθ1 ,e iθ2 ,...,e iθm ), θ j ∈ IR, j = 1:m.
(În cazul real, cu matrice de transformare reale, matricea U este determinată, evident,
până la semnul coloanelor sale.)
Dacă m = n, A este nesingulară şi U este fixată, atunci matricea Σ este nesingulară
şi V este unic determinată de V = Σ −1 U H A.
Dacă m < n, atunci Σ are (cel puţin) ultimele n − m coloane nule şi, deci,
ultimele n − m coloane ale matricei V sunt date de orice completare până la o
matrice unitară a primelor m coloane, i.e. în mod sigur matricea V nu este unic
determinată.
✸
Încontinuareaacesteisecţiuniintroductiveprezentămunelegeneralizăriderivate
din conceptul de valori singulare.
5.1.2 Descompunerea polară
Fie A ∈ IC m×n , rangA = r şi DVS (5.3) A = UΣV H a lui A. Utilizând notaţiile
(5.13) şi introducând noile notaţii
S =
{ Σ(1 : n,:) dacă m ≥ n
Σ(:,1 : m) dacă m ≤ n ,
putem să scriem
{ Ũ = U(:,1 : n) dacă m ≥ n
Ṽ = V(:,1 : m) dacă m ≤ n ,
(5.23)
A = U 1 V H
1 V 1 Σ 1 V H
1 = WP 1 sau A = U 1 Σ 1 U H 1 U 1 V H
1 = P 2 W, (5.24)
unde
şi
W def
= U 1 V H
1 ∈ IC m×n , P 1
def
= V 1 Σ 1 V H
1 ∈ IC n×n , P 2
def
= U 1 Σ 1 U H 1 ∈ IC m×m
unde
A =
(5.25)
{ ŨSV H = ŨV H VSV H = YP 1 dacă m ≥ n
USṼ H = USU H UṼ H = P 2 Z dacă m ≤ n , (5.26)
Y def
= ŨV H ∈ IC m×n , Z def
= UṼ H ∈ IC m×n . (5.27)
Este uşor de constatat că matricele P 1 şi P 2 sunt hermitice şi pozitiv semidefinite cu
rangP 1 = rangP 2 = rangA, Y este o matrice cu coloanele ortogonale (i.e. Y H Y =
= I n ), Z este o matrice cu liniile ortogonale (i.e. ZZ H = I m ) şi, în consecinţă,
matricele Y şi Z au norma spectrală unitară. În cazul real, evident, matricele W,
P 1 , P 2 , Y şi Z pot fi reale.
Putem introduce următoarea definiţie.
Definiţia 5.3 Factorizarea
A =
{ YP1 dacă m ≥ n
P 2 Z dacă m ≤ n
(5.28)