Calculul valorilor si vectorilor proprii

486 CAPITOLUL 6. VALORI ŞI VECTORI PROPRII GENERALIZAŢI
Ţinând seama de faptul că (A,B) = (QSZ H ,QTZ H ), vectorul x k se calculează cu
relaţia
x k = Zy, (6.69)
unde y este o soluţie nenulă a sistemului singular triunghiular
t kk Sy = s kk Ty. (6.70)
Dacă λ k este o valoare proprie distinctă, atunci soluţiile nenule ale sistemului (6.70)
au structura
y = [ỹ T α0 ...0] T , ỹ ∈ IC k−1 , (6.71)
unde α este un scalar nenul altfel arbitrar, e.g. α = 1. Cu această alegere a lui α
din (6.70) rezultă că ỹ este soluţia sistemului triunghiular nesingular
(t kk S(1 : k−1,1 : k−1)−s kk T(1 : k−1,1 : k−1))ỹ = s kk T(1 : k−1,k)−t kk S(1 : k−1,k).
(6.72)
Cu ỹ astfel obţinut vectorul propriu generalizat x k se obţine din (6.69) cu relaţia
x k = Z(:,1 : k−1)ỹ +Z(:,k). (6.73)
În situaţia încarevaloareaproprienu este distinctă, calculul se poateprocedafie
extinzând ideile din situaţia corespunzătoare din cazul calculului vectorilor proprii
ordinari, fie apelând la o ”grupare” a valorilor proprii generalizate identice prin
tehnici de ordonare care fac obiectul secţiunii următoare.
6.4 Forma Schur generalizată ordonată.
Calculul subspaţiilor de deflaţie
Conceptul de subspaţiu de deflaţie a fost introdus prin definiţia 6.2 şi folosit pentru
a demonstra posibilitatea reducerii unei perechi (A,B) ∈ IC n×n × IC n×n , prin
transformări de echivalenţă, la forma Schur generalizată.
Reciproc, fie un fascicol regulat, definit de o pereche (A,B) ∈ IC n×n ×IC n×n şi
forma sa Schur generalizată (S,T) cu următoarele partiţii ale matricelor S şi T
k n−k
k n−k
{}}{ {}}{
{}}{ {}}{
[ ] [ ]
S = Q H S11 S
AZ = 12 }k
0 S 22 }n−k , T = T11 T QH BZ = 12 }k
0 T 22 }n−k .
(6.74)
Fie, de asemenea, partiţiile corespondente ale matricelor unitare de transformare
Q =
k n−k
{}}{ {}}{
[ ]
Q1 Q 2
, Z =
k n−k
{}}{ {}}{
[ ]
Z1 Z 2
. (6.75)
Dacă, acum, considerăm S = ImZ 1 , atunci V 1
def
= AS = Im(AZ 1 ) = Im(QSZ H Z 1 )
de unde, ţinând seama de relaţiile (6.74), (6.75), precum şi de faptul că Z H 1 Z 1 = I k ,