Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.6. APLICAŢIILE DVS 429
5.6.4 Probleme CMMP cu restricţii
În cadrulparagrafeloranterioarerelativelarezolvareaproblemelorde minimizarede
tipul celor mai mici pătrate, (pseudo)soluţia era căutată în tot spaţiul IC n , respectiv
IR n încazuldatelorreale. Înceleceurmeazăvomrestrângeariadecăutareasoluţiei
minimizante la un domeniu nevid X ⊂ IC n care nu coincide cu tot spaţiul. Deşi majoritatea
aplicaţiilor de această natură operează cu date reale, pentru omogenitatea
tratării vom considera, ca şi până acum, cazul, mai general, al datelor complexe.
Cititorul interesat nu va întâmpina, cu siguranţă, nici un fel de dificultăţi la particularizarea
rezultatelor şi a algoritmilor pentru cazul datelor reale.
Într-o formulare generală, problema celor mai mici pătrate cu restricţii are
următorul enunţ. Date matricea A ∈ IC m×n , cu m > n, vectorul b ∈ IC m şi mulţimea
nevidă X ⊂ IC n , să se determine vectorul x ∗ ∈ X (dacă există) astfel încât
‖r ∗ ‖ def
= ‖Ax ∗ −b‖ = min ‖Ax−b‖, (5.155)
x ∈ X
unde, ca în toate problemele de tip CMMP, ‖·‖ este norma euclidiană.
Diversele probleme CMMP cu restricţii diferă, natural, prin tipurile de mulţimi
X. În continuare vom considera câteva cazuri frecvent întâlnite în aplicaţii.
Problema CMMP cu restricţii liniare tip egalitate
Restricţiile liniare tip egalitate pot fi descrise prin
X = {x|x ∈ IC n , Cx = d}, (5.156)
unde C ∈ IC p×n , p < n, este o matrice epică 29 şi d ∈ IC p .
Problema CMMP (5.155), (5.156) poate fi rezolvată prin reducerea la rezolvarea
unei probleme CMMP fără restricţii în modul următor. Fie factorizarea QR a
matricei monice C H , i.e.
[ ]
C H R1
= Q = Q
0 1 R 1 , (5.157)
unde R 1 ∈ IC p×p este superior triunghiulară nesingulară, Q ∈ IC n×n este unitară şi
Q 1 = Q(:,1 : p). Condiţia Cx = d devine echivalentă cu R1 HQH 1 x = d, i.e.
Q H 1 x = (RH 1 )−1 d def
= y ∗ . (5.158)
Pe de altă parte, considerând partiţia Q = [Q 1 Q 2 ], avem
[ ]
r def
= Ax−b = AQQ H Q
H
x−b = [AQ 1 AQ 2 ] 1 x
Q H 2 x −b = A 1 y+A 2 z−b = A 2 z−˜b
(5.159)
29 Dacă C nu este epică, i.e. r = rangC < p, atunci restricţiile pot fi rescrise în forma ˜Cx = ˜d,
unde ˜C ∈ IC r×n este epică. Într-adevăr, dacă C = U 1Σ 1 V1 H este dezvoltarea DVS a matricei C,
atunci ˜C poate fi Σ1 V1 H, în care caz ˜d = U1 H d. Dacă p = n, atunci C este nesingulară, i.e. X are
un singur element, şi problema de minimizare devine trivială.