Calculul valorilor si vectorilor proprii

490 CAPITOLUL 6. VALORI ŞI VECTORI PROPRII GENERALIZAŢI
generalizate (S,T) ale fascicolului (A,B) în ordinea impusă de permutarea dată
π = {i 1 ,i 2 ,...,i n } în sensul că perechea diagonală aflată iniţial în poziţia (k,k) va
fi plasată în final în poziţia (i k ,i k ) (vezi şi comentariul la algoritmul ce urmează).
Prin actualizarea matricei unitare de transformare Z se calculează şi baze ortogonale
pentru subspaţiile de deflaţie asociate unor grupuri impuse de valori proprii
generalizate. Concret, coloanele matricei actualizate Z(:,1 : k) formează o bază
ortogonală a subspaţiului de deflaţie S k asociat setului de valori proprii Λ k =
= {λ i = (s ii ,t ii )|i = 1 : k}} (în numerotarea finală). Actualizarea matricei
unitare de transformare Q nu este necesară. Dacă se efectuează totuşi, atunci
coloanele matricei actualizate Q(:,1:k) formează o bază ortogonală a subspaţiului
V k = AS k +BS k în situaţia în care dimV k = dimS k = k.
Algoritmul 6.11 (FSG ORD – Ordonarea formei Schur generalizate
(complexe)) (Date o pereche (S,T) ∈ IC n×n × IC n×n în formă
Schur generalizată, matricele unitare Q,Z ∈ IC n×n şi permutarea π =
= {i 1 ,i 2 ,...,i n }, algoritmul suprascrie perechea (S,T) cu perechea unitar
echivalentă (S ′ ,T ′ ) = (˜Q H S ˜Z, ˜Q H T ˜Z) care are (s ′ i k ,i k
,t ′ i k ,i k
) =
= (s kk ,t kk ), k = 1 : n şi actualizează matricele de transformare Q
şi Z.)
1. Pentru k = 1 : (n−1)
1. mută =’nu’
2. l = k
3. Pentru j = (k +1) : n
1. Dacă i j < i l atunci
1. l = j
2. mută=’da’
4. Dacă mută =’da’ atunci
1. Pentru j = (l−1) : −1 : k
1. [S,T,Q,Z] = PG11c(S,T,Q,Z,j)
2. i j ↔ i j+1
Comentarii. Sintaxa naturală de apel a algoritmului prezentat este
[S,T,Q,Z] = FSG ORD(S,T,Q,Z,π).
Complexitatea unei ordonări este dictată esenţial de natura permutării. Cazurile
limită sunt permutarea identică pentru care nu se face nici o operaţie aritmetică şi
inversiunea pentru care se efectuează 1 2n(n−1) apelări ale procedurii PG11c care
conduc la o complexitate de O(n 3 ).
Algoritmul de mai sus realizează o ordonare totală a perechilor diagonale. Dacă
se urmăreşte exclusiv construcţia unei baze unitare pentru un subspaţiu de deflaţie
k-dimensional (k < n) este suficientă o ordonare parţială constând în aducerea, pe
căile cele mai ”scurte”, a valorilor proprii generalizate vizate în primele k poziţii diagonale.
De asemenea, se renunţă la actualizarea matricei Q. Propunem cititorului
o astfel de adaptare a algoritmului.